The breakage of the diamond. (Q1541843)

Es handelt sich um die folgende Aufgabe: Ein Juwelier erhält die Nachricht, dass einer seiner rohen Diamanten in drei Stücke gebrochen sei. Man macht ihm den Vorschlag, diese Stücke zu verkaufen, ohne dass sie vorher besehen werden. Der Preis ist auf der Grundlage zu bestimmen, dass der Wert eines rohen Diamanten proportional ist dem Quadrat seines Volumens. Wird der Preis des ursprünglichen rohen Diamanten als Einheit genommen, und sind \(x,y,z\) die Verhältnisse der Volumina der drei Stücke zu dem ungebrochenen Stein, so wird der Preis der drei Stücke \[ w=x^2 + y^2 + z^2. \] Da die Summe der drei Verhältnisse \(x,y,z\) gleich der Einheit ist, so können alle möglichen Arten, wie der Bruch erfolgte, durch einen Punkt \(P\) bezeichnet werden, der in einem gleichseitigen Dreieck mit der Höhe 1 belegen ist. Die Entfernungen zwischen \(P\) und den Seiten ergeben die Verhältnisse \(x,y,z\). Bezeichnet \(R\) die Entfernung zwischen \(P\) und dem Schwerpunkt des Dreiecks \(G\), so ergiebt sich \[ w= \tfrac 32\;R^2 + \tfrac 13. \] Alle unzähligen Möglichkeiten des Bruches, bei denen der Wert \(w\) derselbe bleibt, werden dargestellt durch die Punkte des Umfanges eines Kreises mit dem Radius \(\sqrt{\frac 23 (w- \frac 13)}\), dessen Scheitel in \(G\) liegt, und es findet sich nach einigen weiteren Betrachtungen als der mittlere Wert des Preises \[ \sigma = \tfrac 12, \] so dass der Käufer die Hälfte des ursprünglichen Wertes anlegen darf. Sodann wird die Frage aufgeworfen, ob der Käufer ein gutes Geschäft macht, und es wird gezeigt, dass die Wahrscheinlichkeit, die Stücke haben einen geringeren Wert, \[ \frac{\pi \sqrt 3}{9} = 0,60460 \] wird, dass es also wahrscheinlicher ist, dass der Juwelier ein gutes Geschäft gemacht habe, dass damit aber das Gesetz der Billigkeit nicht verletzt werde; denn während der mögliche Gewinn des Käufers sich auf 100 Procent steigern kann, wird derselbe für den Juwelier niemals 50 Procent übersteigen. Der Verfasser entwickelt weiter die Formeln für dieselben Fragen, wenn der Stein in \(n\) Stücke gebrochen ist, und fügt ausserdem eine Entwickelung bei für die Frage nach der Wahrscheinlichkeit, ob ein spitzwinkliges ist. Er findet die Wahrscheinlichkeit des letzteren gleich \(\frac 14\).