Smoothing of the observation errors according to the principle of symmetrically computed means. (Q1541855)

Nachdem der Verfasser in den beiden ersten Abschnitten, gewissermassen als Einleitung zu seiner eigentlichen Aufgabe, verschiedene Sätze über Mittelgrössen und über Determinanten entwickelt und begründet hat, kommt er in Abschnitt III zu einer Kritik der herkömmlichen Begründung der Ausgleichungsrechnung mit Hülfe der Wahrscheinlichkeitsrechnung und der Methode der kleinsten Quadrate. Er erblickt die Schwierigkeiten, welche sich einer befriedigenden Theorie des gebräuchlichen Ausgleichungsverfahrens entgegenstellen, in den ungeeigneten Ausgangspunkten. Von einer so unsichern Sache, wie den sogenannten Fehlergesetzten dürfe die Ausgleichung nicht abhängig sein. Dass die gesuchte Grösse, in dem einfachsten Fall der Ausgleichungsrechnung, gleich dem arithmetischen Mittel aus den Beobachtungen werden muss, sei unmittelbar einleuchtend, auch liessen sich sachgemässe Gründe dafür angeben. Wenn es sich nur um diesen Fall handelte, so würde man nicht daran gedacht haben, die Wahrscheinlichkeitsrechnung anzuwenden, ebenso wenig würde man es erforderlich halten, nachzuweisen, dass die Summe der Fehlerquadrate ein Minimum ist. Ganz ähnlich verhalte es sich aber auch bei den andern complicirteren Fällen der Ausgleichungsrechnung; die ausgeglichenen Werte sein allemal Mittelgrössen, deren Zweckmässigkeit ebenso unmittelbar einleuchtend oder ebenso einfach zu begründen sei, wie in dem einfachsten Falle des arithmetischen Mittels. Minimum von Quadratsummen, Wahrscheinlichkeitsbeziehungen etc. seien hier ebenso überflüssig wie dort. Die Eigenschaft der ausgeglichenen Werte der Unbekannten, Mittelwerte zu sein zwischen denjenigen Werten, der welche man durch beliebige Combination der Fehlergleichungen erhält, habe deshalb auch als das wahre Princip der Ausgleichung, das Minimum der Summe der Fehlerquadrate dagegen nur als secundäre Folgerung zu gelten. Dass Mittelgrössen sich auch zur Bestimmung mittlerer (nicht sogenannter wahrscheinlicher) Fehler eignen, das liege schon in dem Begriff derselben. Abschnitt IV behandelt die Bestimmung einer Grösse aus unmittelbaren Beobachtungen, bei welche man durch Messung die Werte \(l_1,l_2,\dots,l_m\) gefunden habe. Wären die Messungen genau gewesen, so würde man stets denselben Wert gefunden haben, die Differenz jedes dieser Werte von jedem vorhergehenden wäre immer gleich 0. Mittelgrösse aus den absoluten Werten dieser Differenzen \[ \sqrt{\frac{(l_1 - l_2)^2 + (l_1 - l_3)^2 + \dots + (l_1 - l_m)^2 + (l_2 - l_m)^2 + \dots}{\frac 12 m(m-1)}} \] würde also ein passendes Mass der durchschnittlichen Ungenauigkeit sein, und der gesuchte ausgeglichene Wert der beobachteten Grösse stellt sich auf \[ \frac{l_1 + l_2 + \dots + l_m}{m}, \] was noch weiter von dem Verfasser begründet wird. Diese Betrachtung bildet den Ausgangspunkt für die Begründung der complicirteren Fälle: Abschnitt V. Bestimmung einer Grösse aus nicht unmittelbaren Beobachtungen, Abschnitt VI. Bestimmung mehrerer Grössen. Es wird stets vorausgesetzt, dass die in Frage kommenden Gleichungen die zu bestimmenden Grössen in linearer Form enthalten. Die Ausgleichung wird auch hier auf die Bestimmung von Mittelgrössen zurückgeführt, nur treten Quotienten, bez. Determinanten an die Stelle der Grössen \(l\) des einfachsten Felles. Von denselben will der Verfasser kaum mehr behaupten, als dass die absoluten Werte derselben weder sämtlich zu gross, noch sämtlich zu klein sein werden, dass also der beste Wert innerhalb des von denselben umfassten Intervalls liegen werde. Der Hauptgrund bei der Ausgleichung nach Mittelgrössen bleibt die Vermeidung der Nachteile einer willkürlichen Auswahl von Beobachtungen, jede derselben trägt mit dem vollen ihr zukommenden Gewicht zur Bildung der Mittelgrösse bei. Dieser Mittelwert behält auch dann seine Geltung, wenn einseitig wirkende Fehlerursachen vorkommen. Auch in diesem Fall wird die Genauigkeit der Resultate der mittleren Genauigkeit der besseren Beobachtungen entsprechenden, und somit durch die Ausgleichung das erreicht werden, was ohne nähere Kenntnis jener einseitig wirkenden Fehlerursachen erreicht werden kann. Von den erhaltenen Werten der Unbekannten wird gezeigt, dass sie mit denjenigen, welche sich nach der Methode der kleinsten Quadrate ergeben, übereinstimmen. Der allgemeine mittlere Felher der Beobachtungsreihe stimmt mit dem Gauss'-schen vollständig überein, der mittlere Fehler einer Unbekannten ist von dem Gauss'schen durch einen von der Zahl der Beobachtungen abhängenden Factor verschieden. Die Entwicklung der theoretischen Begründung lässt sich hier nicht weiter verfolgen, da dieselbe mit complicirten Formeln geführt werden muss. Im VII. Abschnitt endlich, dem letzten, zeigt der Verfasser die Ausführung der Rechnung, für welche die bei der Begründung benutzten Determinanten-Ausdrücke nicht geeignet sind. Die Rechnung schliesst sich eng an diejenige für die Methode der kleinsten Quadrate an, und ein davon abweichendes Verfahren, welches ebenfalls hier erläutert wird, würde auch bei der Methode der kleinsten Quadrate sehr zweckmässig zur Anwendung gebracht werden können.