Sur une série considérée par M. Lerch. (Q1541875)

Es wird die Reihe untersucht: \[ \sum_{\nu} u_{\nu} = \sum_{\nu} \delta^{\nu - (\log \nu)} \cdot g^{\frac 12 (\log \nu)[1+ (\log \nu)]}, \] in der \((\log \nu)\) den ganzen Teil des gewöhnlichen Briggs'schen Logarithmus von \(\nu\) bedeutet und in welcher die Grössen \(\delta\) und \(g\) positiv sind und zwar \(\delta <1\), \(g>1\), aber derart dass \(\delta \sqrt g<1\). Herr Lerch hat bewiesen, dass für Werte von \(\nu\) von der Form \(10^{\mu} -1\) der Quotient \(u_{\nu +1} : u_{\nu}\) beliebig gross wird, trotzdem die Reihe convergent ist. (Siehe F. d. M. XVII. 1885. 207 (JFM 17.0207.01) und oben S. 194.(JFM 18.0194.01)) Herr Gutzmer zeigt, dass man die vorliegende Reihe \(\sum u_{\nu}\) in eine andere \(\sum v_{\mu}\) transformiren kann, in welcher der Quotient \(v_{\mu +1} : v_{\mu}\) \(\text{immer} <1\) ist. Es ergiebt sich \[ \sum_{\nu} u_{\nu} = \sum_{\mu} v_{\mu} = \sum_{\mu} \delta^{10^{\mu} - \mu} \cdot g^{\frac 12 \mu(\mu + 1)} \cdot \frac{1- \delta^{9.10^{\mu}}}{1- \delta}\,\cdot \]