Recherches sur quelques séries semiconvergentes. (Q1541877)

Reihen von der Form: \[ F(a) = m_0 + \frac{m_1}{a} + \frac{m_2}{a^2} + \frac{m_3}{a^3} + \cdots, \] worin \(a\) als reell und positiv vorausgesetzt wird, nennt der Herr Verfasser semiconvergente und teilt sie in Reihen erster und zweiter Art, je nachdem das Vorzeichen der Glieder wechselt oder unverändert bleibt. Die letzteren bilden den hauptsächlichsten Inhalt der Abhandlung. Um solche Reihen zur numerischen Berechnung der durch sie dargestellen Functionen benutzen zu können, hat man ein Restglied \(R_n\) zu bestimmen, das man einer endlichen Anzahl von Gliedern der Reihe hinzuzufügen hat. Nimmt man für \(a\) sehr grosse Werte, so nehmen die Glieder der Reihe mit wachsendem Index zunächst ab, um nachher über jede Grenze zu wachsen. Die zu lösende Aufgabe besteht also in der Ermittelung desjenigen Wertes von \(n\), für welchen \(R_n\) sein Zeichen wechselt, mithin in der angenäherten Auflösung der transcendenten Gleichung \(R_n =0\), worin \(n\) als eine stetige Veränderliche betrachtet wird. Wünschenswert wäre es, wenn dieser Zeichenwechsel von \(R_n\) in der Nähe des kleinsten Gliedes der Reihe stattfände, und bei den vom Herrn Verfasser behandelten Beispielen ist dies der Fall. Die angenäherte Lösung der Gleichung \(R_n =0\) hat die Form: \[ n= \alpha a + \alpha_0 + \frac{\alpha_1}{a} +\frac{\alpha_2}{a^2} + \cdots; \] sie ergiebt sich, indem man das zu einem in der Umgebung des kleinsten Gliedes der Reihe befindlichen Gliede \(T_n\) gehörige \(R_n\) in eine nach abnehmenden Potenzen von \(n\) fortschreitende semiconvergente Reihe entwickelt. In vielen Fällen ist es nicht erforderlich, die Reihe soweit fortzusetzen, bis \(R_n\) das Zeihen wechselt; es lässt sich der Grad der Annäherung angeben, wenn die Reihe bei einem beliebigen Gliede abgebrochen wird. Das erste Beispiel ist der Integrallogarithmus: \(li(e^a)\); derselbe wird in die bekannte Reihe entwickelt, und dem Restglied die Form \[ R_n = \left\{ \int_0^{1- \varepsilon} + \int_{1+ \varepsilon}^{\infty} \right\} \frac{v^n e^{-av}}{1-v}\;dv \] gegeben. Setzt man \(a=n+ \eta\), so wird \[ R_n = \left\{ \int_{1-h}^{1-\varepsilon} + \int_{1+ \varepsilon}^{1+k} \right\} \frac{(ve^{-v})^n}{1-v} e^{-\eta^v} dv, \] wo \(h,k\) endliche Grössen bedeuten und die Integrale von 0 bis \(1-h\) und von \(1+k\) bis \(\infty\) unterdrückt werden durften. Setzt man jetzt \(ve^{-v} = e^{-1-x^2}\), \(1-v=t\), so ist \((1-t)e^t =e^{-x^2}\); für hinreichend kleine Werte von \(x\) kann daher \(t\) (und \(e^{-\eta v}\)) nach Potenzen von \(x\) entwickelt werden. Dadurch nimmt das erste Integral die Form: \[ e^{-a} \int_{\varepsilon \sqrt{\frac 12}}^{L} e^{-nx^2} \left\{ 1 + A_1 x + A_2 x^2 + \cdots \right\} \frac{dx}{x} \] an, worin \(L\) nur von \(h\) abhängt, \(A_1,A_2,\dots\) Functionen von \(\eta\) sind. Durch die Forderung, dass die Reihe \(1+ A_1x + A_2x^2 + \cdots\) zwischen den Grenzen des Integrals convergent sei, ergiebt sich für \(h\) eine numerische Constante. Addirt man hierzu das in ähnlicher Weise umgeformte zweite Integral, so wird: \[ R_n= 2e^{-a} \int_0^L e^{-nx^2} \left\{ A_1 + A_3x^2 + A_5x^4 + \cdots \right\}dx, \] und durch Integration: \[ \begin{multlined} R_n= e^{-a} \sqrt{\tfrac{2\pi}{n}} \left\{ \eta - \tfrac 13 + \left(\tfrac 16 \eta^3 - \tfrac 12 \eta^2 + \tfrac{1}{12} \eta + \tfrac{1}{540}\right) \tfrac 1n \right. \\ \left. + \left( \tfrac{1}{40} \eta^5 - \tfrac{5}{24} \eta^4 + \tfrac{25}{72} \eta^3 - \tfrac{1}{24} \eta^2 + \tfrac{1}{288} \eta + \tfrac{65}{6048} \right) \frac{1}{n^2} + \cdots \right\} \cdot \end{multlined} \] Der Wert von \(\eta\), für welchen \(R_n=0\) wird, kann daher nach Potenzen von \(n\) entwickelt werden: \[ \eta = \beta_0 + \frac{\beta_1}{n} + \frac{\beta_2}{n^2} + \cdots, \] und da \(a=n+\eta\) ist, so erhält man: \[ n=a- \frac 13 - \frac{8}{405a} + \frac{16}{25515a^3} - \cdots \] Beschränkt man sich bei der Berechnung auf \(a-\frac 13 - \frac{8}{405a}\)\,, so ist der für \(n\) begangene Fehler eine Grösse von der Ordnung \(e^a \sqrt{\frac{2\pi}{a}}\), derjenige für \(li(e^a)\) von der Ordnung \(\sqrt{\frac{2\pi}{a}}\). In analoger Weise werden die Functionen: \[ \int_0^{\infty} \frac{\sin au}{1+u^2}\;du,\quad \int_0^{\infty} \frac{u\cos au}{1+u^2}\;du,\quad \sum_1^{\infty}\;\frac{1}{e^{\frac na} -1} \] behandelt. Dagegen führen \(\log \varGamma(a)\) und die beiden Integrale \(J(a),K(a)\) der Differentialgleichung: \[ \frac{d^2 z}{da^2} + \frac 1a\;\frac{dz}{da} + z=0, \] nämlich: \[ J(a)=\frac{1}{\pi} \int_{-1}^{+1} \frac{\cos au}{\sqrt{1-u^2}}\;du; \quad K(a)= \frac{2}{\pi} \int_{-1}^{\infty} \frac{\cos au}{\sqrt{u^2 -1}}\;du \] zu Reihen erster Art. Der Herr Verfasser zeigt nun, wie man \(\log \varGamma(ai),J(ai),K(ai)\) definiren kann, und gelangt dadurch zu Reihen zweiter Art, die er eingehend behandelt.