On the sums composed by the coefficients of series with positive terms. (Q1541882)

Für die beiden begrenzten Reihensummen \[ \sum_{k=0}^{k=n-1} A_kx^k,\quad \sum_{k=1}^{k=n} B_k k^{-x} \] sollen Grenzen gefunden werden, zwischen denen sie jedenfalls liegen. Ueber die Lösung ist hier nur folgendes angegeben. Stehen \(F(z)\) und \(\varPhi(z)\) in der Beziehung \[ \varPhi(t)= \int_0^{\infty} e^{-tz} F(z)dz, \] wo \(F(z)\) beständig positiv, so ist \[ \int_0^{- \frac{\varPhi''(\varrho)}{\varPhi'(\varrho)}} F(z)dz \geqq \varPhi(\varrho) - \frac{[\varPhi'(\varrho)]^2}{\varPhi''(\varrho)}; \] \[ \int_0^{\frac{1}{\sigma} \log \frac{\varPhi(\sigma)}{\varPhi(2\sigma)}} F(z)dz \geqq \frac{\varPhi^2(\sigma)}{\varPhi(2\sigma)} \cdot \] Erfüllen nun \(\varrho\) und \(\sigma\) für ein beliebiges \(u\) die Bedingungen \[ - \frac{ \varPhi''(\varrho)}{\varPhi'(\varrho)} \leqq u; \quad \frac{1}{\sigma} \log \frac{\varPhi(\sigma)}{\varPhi(2\sigma)} \geqq u, \] so hat man eine obere und eine untere Grenze für \[ \int_0^u F(z)dz. \] Um dies auf jene beiden Reihensummen anzuwenden, hat man bezw. zu setzen: \[ \varPhi(t) = \sum_{k=0}^{k=\infty} A_k e^{-kt};\quad u=n-1, \] \[ \varPhi(t) = \sum_{k=1}^{k=\infty} B_k k^{-t}; \quad u=\log n. \]