Sur l'algorithme \([abc \dots l]^{(n)}\). (Q1541887)

Für den Ausdruck \([abc \dots l]^{(n)}\) (cfr. F. d. M. XV. 1883. S. 188, JFM 15.0188.01) werden Ausdrücke, wie: \[ \sum_{\nu}^n a^{\nu} [bc\dots l]^{(n- \nu)} \quad \text{und}\quad\sum_{\nu=0}^n [ab]^{(\nu)} [c\dots l]^{(n - \nu)} \] abgeleitet und auf \([\alpha \alpha \dots \alpha abc \dots l]^{(n)}=[\alpha^{(p)} abc \dots l]^{(n)}\) angewandt. Durch die Gleichungen: \[ \sum_{i=0}^{i=n} (a^i + b^i)= \sum_n^1 (a,b); \quad \sum_{i=0}^{i=n} \sum_i^1 (a,b) = \sum_n^2 (a,b); \] \[ \sum_{i=0}^{i=2} \sum_i^2 (a,b) = \sum_n^3 (a,b); \dots \] wird der Ausdruck \(\sum_n^p (a,b)\) definirt und \(\sum_n^p (a)\) berechnet. Es ergeben sich zwei Entwickelungen für \(\sum_n^p (a)\), und durch Vergleichung der Coefficienten zeigt sich, dass \([1^{(p)}]^{(n)}\) gleich dem Binomialcoefficienten \(\frac{(n+1)(n+2)\dots(n+p-1)}{1.2\dots (p-1)}\) ist und die Gleichung \[ [1^{(p)}]^{(n-1)} + [1^{(p-1)}]^{(n)} = [1^{(p)}]^{(n)} \] befriedigt. Bedeuten \(abc\dots l\) die Wurzeln der Gleichung: \[ z^p +A_1z^{p-1} + A_2z^{p-2} + \cdots + A_{p-1}z + A_p =0, \] so ist die Summe der \(n^{\text{ten}}\) Potenzen: \[ \sum a^n =p[abc \dots l]^{(n)} + (p-1)A_1[abc \dots l]^{(n-1)}+(p-2) A_2[abc \dots l]^{(n-2)} + \cdots +A_{p-1}[abc \dots l]^{(n-p+1)}. \] Es seien endlich in dem Algorithmus \(A=[abc \dots l]^{(n)}\) die Grössen \(abc \dots l\) irgend \(k\) (von einander verschiedene) der \(p^{\text{ten}}\) Einheitswurzeln, \(R\) sei der Rest der Division von \(n\) durch \(p\), dann gilt der Satz: \(1^{\circ}\) Für \(R=0\) ist \(A=1\). \(2^{\circ}\). Ist \(R\) gleich einer der Zahlen \(1,2,3,\dots,p-k\), so ist \(A\) gleich plus oder minus der Summe der Producte aus je \(R\) derjenigen \(p-k\; p^{\text{ten}}\) Einheitswurzeln, welche in dem Algorithmus \(A\) nicht vorkommen, und zwar ist das Vorzeichen plus oder minus, je nachdem \(R\) gerande oder ungerade ist. \(3^{\circ}\). Für \(R>p-k\) ist \(A=0\). Zum Schluss wird noch \(\sum_n^q (ab \dots l)\) durch \([l^{(q)} ab \dots l]^{(n)},\; [l^{(q)} ab \dots l]^{(n-1)}\) ausgedrückt und durch Anwendung des Resultates auf die \(p^{\text{ten}}\) Wurzeln der Einheit \(\omega_1,\omega_2,\dots,\omega_p\) die Gleichung: \[ \sum_n^q (\omega_1 \omega_2 \dots \omega_p) = p\sum_{i=0}^{i=E\left( \frac np \right)} [l^{(q)}]^{(n-ip)} \] gefunden, wo \(E\left(\frac np \right)\) das bekannte Zeichen ist.