Quelques remarques sur la détermination des valeurs moyennes. (Q1541904)

Ist \(\varphi_1 + \varphi_2 + \cdots\) eine convergente Reihe reelle Zahlen und \(\psi_1,\psi_2,\dots\) eine Reihe reeller, positiver, wachsender Zahlen von der Art, dass \(\lim_{n=\infty} \frac{1}{\psi_n}=0\) ist, dann ist: \[ (1)\qquad \lim_{n=\infty}\;\frac{1}{\psi_n} (\varphi_1 \psi_1 + \cdots + \varphi_n \psi_n)=0 \] und allgemeiner \[ (2)\qquad \lim \frac{1}{\psi_n - \psi_m} (\varphi_{m+1} \psi_{m+1} + \cdots +\varphi_n \psi_n)=0 \] für wachsende Werte von \(m\) und in gewisser, davon abhängige Weise wachsende Werte von \(n\). Dies wird auf den Fall \[ \psi_k =k,\quad \varphi_k = \frac{c_k}{k} \] und allgemeiner \[ \varphi_k = \frac{c_k}{k^{1+\varrho}}\quad (\varrho \geqq 0) \] angewandt und hieran werden Folgerungen geknüpft, die für die Zahlentheorie wichtig sind.