Note sur une relation entre les intégrales définies des produits des fonctions. (Q1541986)

Es werden zuerst zwei Relationen bewiesen: 1. Sind \(f,f_1,\dots,f_n\) und \(\varphi,\varphi_1,\dots,\varphi_n\) zwei Reihen von Functionen von \(x\), so ist \[ \begin{multlined} \left|\begin{matrix} \int f\varphi dx & \int f\varphi_1 dx & \dots & \int f \varphi_n dx \\ \int f_1 \varphi dx & \int f_1 \varphi_1 dx & \dots & \int f_1 \varphi_n dx \\ \hdotsfor4\\ \int f_n \varphi dx & \int f_n \varphi_1 dx & \dots & \int f_n \varphi_n dx \end{matrix}\right| \\ =\frac{1}{(n+1)!}\;\int \left|\begin{matrix} f(x) & f(y) & \dots & f(v) \\ f_1(x) & f_1(y) & \dots & f_1 (v) \\ \hdotsfor4 \\ f_n(x) & f_n(y) & \dots & f_n(v) \end{matrix}\right| \\ \times \left|\begin{matrix} \varphi(x) & \varphi(y) & \dots & \varphi(v) \\ \varphi_1(x) & \varphi_1(y) & \dots & \varphi_1(v) \\ \hdotsfor4\\ \varphi_n(x) & \varphi_n(y) & \dots & \varphi_n(v) \end{matrix}\right| dxdy\dots dv,\end{multlined} \] alle Integrale zwischen denselben constanten Grenzen genommen. 2. Sind \(\mu_0,\mu_1,\dots,\mu_n\) und \(\nu_0,\nu_1,\dots,\nu_n\) zwei Gruppen von Functionen von \(x\), und liegen die Argumente derselben \(x_0,y_0,\dots,v_0\) zwischen \(a\) und \(b\), so giebt es zwischen \(a\) und \(b\) bei unverändertem \(x_0\) Werte \(y=y_1,z=z_2,\dots,v=v_n\), für welche \[ \frac{\left|\begin{matrix} \mu_0(x_0) & \mu_0(y_0) & \dots & \mu_0(v_0) \\ \mu_1(x_0) & \mu_1(y_0) & \dots & \mu_1(v_0) \\ \hdotsfor4\\ \mu_n(x_0) & \mu_n(y_0) & \dots & \mu_n(v_0) \end{matrix}\right|}{\left|\begin{matrix} \nu_0(x_0) & \nu_0(y_0) & \dots & \nu_0(v_0) \\ \nu_1(x_0) & \nu_1(y_0) & \dots & \nu_1(v_0) \\ \hdotsfor4\\ \nu_n(x_0) & \nu_n(y_0) & \dots & \nu_n(v_0) \end{matrix}\right|} = \frac{\left|\begin{matrix} \mu_0(x_0) & \mu_0'(y_1) & \dots & \mu_0^{(n)}(v_n) \\ \mu_1(x_0) & \mu_1'(y_1) & \dots & \mu_1^{(n)}(v_n)\\ \hdotsfor4\\ \mu_n(x_0) & \mu_n'(y_1) & \dots & \mu_n^{(n)}(v_n) \end{matrix}\right|}{\left|\begin{matrix} \nu_0(x_0) & \nu_0'(y_1) & \dots & \nu_0^{(n)}(v_n) \\ \nu_1(x_0) & \nu_1'(y_1) & \dots & \nu_1^{(n)}(v_n) \\ \hdotsfor4\\ \nu_n(x_0) & \nu_n'(y_1) & \dots & \nu_n^{(n)}(v_n) \end{matrix}\right|} \] ist. Mit Hülfe beider Sätze wird dann die beabsichtigte Relation hergeleitet: \[ \varDelta = \frac{1}{[(n!)!]^2}\;P_1Q_1 \varDelta_n, \] wo \[ \varDelta = \int^{(n+1)} \varphi(x) \varphi_1(y)\dots \varphi_n(v) \left|\begin{matrix} f(x) & f(y) &\dots & f(v) \\ f_1(x) & f_1(y) & \dots & f_1(v)\\ \hdotsfor4\\ f_n(x) & f_n(y) & \dots & f_n(v) \end{matrix}\right| dxdy\dots dv, \] \[ \varDelta_n = \left|\begin{matrix} \l & \l & \l & \l\\ \int\vartheta dx & \int x \vartheta dx & \dots & \int x^n \vartheta dx \\ \int x \vartheta dx & \int x^2 \vartheta dx & \dots & \int x^{n+1} \vartheta dx\\ \hdotsfor4\\ \int x^n \vartheta dx & \int x^{n+1} \vartheta dx & \dots & \int x^{2n} \vartheta dx \end{matrix}\right| , \] \[ P_1 = \left|\begin{matrix} f(x_0) & f'(y_1) & \dots & f^{(n)}(v_n) \\ f_1(x_0) & f_1'(y_1) & \dots & f_1^{(n)}(v_n) \\ \hdotsfor4\\ f_n(x_0) & f_n'(y_1) & \dots & f_n^{(n)}(v_n) \end{matrix}\right| , \] \(Q_1\) dasselbe nach Setzung von \(\varphi\) statt \(f\); \(\vartheta\) eine beliebige Function, die ihr Vorzeichen nie wechselt, \(x_0,y_1,\dots,v_n\) im Sinne von 2. zu nehmen. Hiermit ist \(\varDelta\) in drei Factoren zerlegt, deren einer nur von den \(f\), einer nur den \(\varphi\), der dritte von keinen von beiden abhängt. Von diesem Resultat werden Anwendungen gemacht auf eine Entwickelung von \[ \int_a^b f(x) \varphi(x) \vartheta(x)dx \] nebst Bestimmung des Restes, woraus Sätze von Posse und Tschebyscheff hervorgehen, ferner auf die Bestimmung der \(f\) und \(\varphi\) unter gegebenen Bedingungen, schliesslich die Formel durch Bedingungen specialisirt.