On the irregular integrals of linear equations. (Q1542003)

Zur Darstellung der in einem singulären Punkte, für welchen der Punkt \(x=\infty\) genommen wird, irregulären Integrale einer linearen Differentialgleichung bedient sich der Verfasser gewisser divergenter Reihen in einem ähnlichen Sinne, wie die Stirling'sche Reihe zur Darstellung von \(\log\varGamma(x+1)\) für \(x=\infty\) gebraucht wird. Diese heisst bei ihm eine asymptotische, und er definirt allgemein eine divergente Reihe \[ A_0 + \frac{A_1}{x} + \frac{A_2}{x^2} + \cdots + \frac{A_n}{x^n} + \cdots, \] worin die Summe der \(n+1\) ersten Glieder mit \(S_n\) bezeichnet sei, als ``die asymptotische Darstellung'' einer Function \(J(x)\), wenn der Ausdruck \(x^n(J-S_n)\) mit unendlich wachsenden \(x\) sich der Null nähert. Zwei asymptotische Reihen können miteinander multiplicirt werden, d. h. wenn \[ \lim_{x=\infty} x^n(J-S_n) =0,\quad \lim_{x=\infty} x^n(J' - S_n')=0, \] so besteht auch \[ \lim_{x=\infty} x^n(JJ' - \sum_n)=0, \] worin \(\sum_n\) die Summe der \(n\) ersten Glieder des Products \(S_nS_n'\) bezeichnet. Ebenso lässt sich eine asymptotische Reihe integriren, aber im allgemeinen nicht differentiren. Als wesentlich ist noch zu bemerken, dass, wenn \(x\) mit verschiedenen Argumenten in das Unendliche rückt, auch die dargestellen Functionen \(J\) im allgemeinen verschieden werden. Es sei nun \[ P_n\frac{d^ny}{dx^n} + P_{n-1}\;\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}} + \cdots + P_1\;\frac{dy}{dx} + P_0y=0 \tag{1} \] die vorgelegte Differentialgleichung, worin die Coefficienten ganze Polynome in \(x\) sind. Es handelt sich um die Darstellung ihrer Integrale in der Umgebung von \(x=\infty\). Wenn die Grade der Polynome \(P_n,P_{n-1},\dots,P_0\) eine abnehmende Reihe bilden, so giebt es nach dem Fundamentalsatze des Herr Fuchs \(n\) der Gleichung (1) genügende für \(x=\infty\) convergente Reihen von der Form \[ x^a \left( A_0 + \frac{A_1}{x} + \frac{A_2}{x^2} + \cdots \right), \] zu denen auch noch Logarithmen hinzutreten können. Diese Integrale heissen regulär. Bilden die Grade der Polynome \(P\) nicht eine abnehmende Reihe, so giebt es, wenn man von gewissen Ausnahmefällen absieht, wie Herr Thomé gezeigt hat, \(n\) Reihen von der Gestellt \[ e^Q x^a \left( A_0 + \frac{A_1}{x} + \frac{A_2}{x^2} + \cdots \right), \] die der Gleichung (1) formell genügen, aber im allgemeinen nicht convergent sind. \(Q\) ist ein ganzes Polynom in \(x\). Eine solche Reihe heisst ``Normalreihe'', und zwar von der \(p^{\text{ten}}\) Ordnung, wenn \(Q\) vom \(p^{\text{ten}}\) Grade ist. Auch hier können noch Logarithmen auftreten, man hat dann die ``logarithmische Normalreihe'' \(p^{\text{ter}}\) Ordnung: \[ e^q x^a (\psi_0 + \log x\cdot \psi_1 + \cdots + \log^q x\cdot \psi_q), \] wo die \(\psi\) nach den Potenzen von \(\frac 1x\) fortschreitende Reihen bedeuten. Zwischen der Ordnung der Normalreihen und dem Grade der Polynome \(P\) besteht folgende Beziehung: Es sei \(M_i\) der Grad von \(P_i\) und \(N_i =(M_i - M_n):(n-i),h\) die grösste der Zahlen \(N_i\), \(p\) die ganze Zahl, die gleich \(h\) ist oder unmittelbar auf \(h\) folgt, dann sind alle Normalreihen höchstens von der Ordnung \(p\). \(h\) heisst der Rang der Gleichung (1). Zunächst wird der Fall untersucht, wo alle Normalreihen von der ersten Ordnung sind. Der Grad \(m\) von \(P_m\) wird in diesem Falle von keinem der \(P\) überschritten. Ist \(A_i\) der Coefficient von \(x^m\) in \(P_i\), so bildet man die Gleichung \[ A_na^n + A_{n-1}a^{n-1} + \cdots + A_1a + A_0=0, \tag{2} \] \(a_1,a_2,\dots,a_n\) seien ihre Wurzeln, die verschieden vorausgesetzt werden. Transformirt man nun die Gleichung (1) nach der Laplace'schen Methode mittels des bestimmten zwischen passenden Grenzen zu nehmenden Integrals \(y=\int ve^{zx} \,dz\), so geht sie über in \[ Q_m\;\frac{d^mv}{dz^m} + Q_{m-1}\frac{d^{m-1}v}{dz^{m-1}} + \cdots + Q_1\frac{dv}{dz} + Q_0v =0, \tag{3} \] worin die \(Q\) Polynome von höchstens \(n^{\text{tem}}\) Grade in \(z\) sind und \(Q_m = (z-a_1)(z-a_2)\dots(z-a_n)\) ist. Die singulären Punkte der Gleichung (3) sind demnach \(a_1,\dots,a_n\), und die determinirende Gleichung bezüglich des Punktes \(a_i\) hat die Wurzeln \(0,1,2,\dots,m-2,\beta_i\). In der Umgebung von \(z=a_i\) besitzt daher die Gleichung (3) \(m-1\) holomorphe Integrale und , falls \(\beta_i\) keine ganze Zahl ist, ein \(m^{\text{tes}}\) Integral \(v_i\) von der Form \[ v_i = (z-a_i)^{\beta_i} + C_1(z-a_i)^{\beta_i +1} + \cdots \] Wie der Verfasser in einer früheren Arbeit [Am. J. Math. 7, 203--258 (1885; JFM 17.0290.01)] nachgewiesen hat, ist alsdann ein Integral der Gleichung (1) durch das bestimmte Integral \(J_i = \int v_i e^{zx} \,dz\) gegeben, welches über folgende Curve \(k_i\) zu erstrecken ist: Durch den Punkt \(a_i\) ziehe man eine zur reellen Axe parallele Gerade und verlängere sie nach der negativen Seite ins Unendliche, sie wird einen mit hinlänglich kleinem Radius um \(a_i\) beschriebenen Kreis in einem Punkte \(b_i\) schneiden. Die Curve \(k_i\) besteht dann aus der Geraden von \(-\infty\) bis \(b_i\), dem kleinen Kreise um \(a_i\) bis zurück und der Geraden von \(b_i\) bis \(-\infty\). Der Ausdruck \(J_i\) lässt sich nun asymptotisch durch eine Reihe von der Form \(e^{a_i x} x^{-(\beta_i +1)} \varphi_i\) darstellen, wo \(\varphi_i\) eine nach ganzen positiven Potenzen von \(\frac 1x\) fortschreitende Reihe bedeutet. Setzt man \(i=1,2,\dots,n\), so erhält man auf diesem Wege sämtliche \(n\) Integrale der Gleichung (1) asymptotisch durch Normalreihen erster Ordnung dargestellt. Der Satz bleibt bestehen, falls \(\beta_i\) eine ganze Zahl ist und in der Darstellung von \(v_i\) Logarithmen auftreten. Fallen aber die logarithmischen Glieder fort, so ist an Stelle der Curve \(k_i\) die Gerade von \(a_i\) bis \(-\infty\) als Integrationsweg zu nehmen. Ein Ausnahmefall tritt ein, wenn zwei der Wurzeln \(a\) der Gleichung (2) einander gleich werden, dann kann die Gleichung (1) im allgemeinen nicht durch Normalreihen integrirt werden. Wenn eine Normalreihe convergent ist, so stellt sie stets ein Integral der Gleichung (1) dar. Die notwendige und hinreichende Bedingung hierfür ist, dass das Integral \(v_i\) in der Form \((z-a_i)^{\beta i} \varphi(z)\) darstellbar ist, worin \(\varphi(z)\) eine in der ganzen Ebene holomorphe Function bezeichnet. Die im Vorhergehenden für den Fall, dass die Gleichung (1) vom Range 1 ist, erhalten Resultate lassen sich nun durch folgendes Verfahren auf den allgemeinen Fall, wo der Rang \(p\) sei, ausdehnen. Man betrachte das Product \[ u=f(x)f(\alpha x)f(\alpha^2 x) \dots f(\alpha^{p-1} x), \tag{4} \] wo \(f(x)\) ein Integral der Gleichung (1) und \(\alpha\) eine primitive \(p^{\text{te}}\) Wurzel der Einheit bedeutet. \(u\) genügt einer Differentialgleichung vom Range \(p\) und der Ordnung \(n^p\). Durch die Substitution \(x^p=t\) geht sie in eine Differentialgleichung derselben Ordnung vom Range 1 über. \(u\) kann also nach dem Vorhergehenden bestimmt werden. Durch \((n^p-1)\)-maliges Differentiiren der Gleichung (4) und Reduction der höheren als \((n-1)^{\text{ten}}\) Ableitungen von \(f(\alpha^q x)\) auf die niederen mit Hülfe der Differentialgleichung (1) und der durch die Substitution \(\alpha^q x\) für \(x\) aus ihr entstehendene ergeben sich für die \(n^p\) Producte \[ \frac{d^{\beta}y}{dx^{\beta}} \frac{d^{\gamma}y_1}{dx^{\gamma}} \dots \frac{d^{\lambda}y_{p-1}}{dx^{\lambda}} \qquad (\alpha,\beta,\dots,\lambda =0,1,2,\dots,n-1), \] wo \(y_q\) die Function \(f(\alpha^q x)\) bezeichnet, ebenso viele Gleichungen, aus denen man, falls die Determinante des Systems derselben nicht verschwindet, durch Auflösung u. a. erhält: \[ yy_1 \dots y_{p-1} = \sum \varphi_q \frac{d^q u}{dx^q},\quad \frac{dy}{dx} y_1 \dots y_{p-1} = \sum \psi_q \frac{ d^q u}{dx^q}, \] wo die \(\varphi\) und \(\psi\) rational in \(x\) sind, und hieraus \(\frac{dy}{ydx}\) als rationale Function von \(x,u\) und den Ableitungen von \(u\). In dem Falle, dass die Determinante verschwindet, tritt die Modification ein, dass die logarithmische Derivirte von \(y\) nicht mehr eine rationale, sondern eine algebraische Function der genannten Grössen wird. In jedem Falle erhält man, wenn \(u\) bekannt ist, \(y\) durch blosse Quadratur. Zu bemerken ist, dass die auf dem genannten Wege erhaltene Function \(y\) nur dann ein Integral von (1) sein wird, wenn man für \(u\) gewisse particuläre Integrale der Gleichung in \(u\) auswählt, deren es übrigens \(n^p\) linear unabhängige giebt. Da jedoch das allgemeinste unter diesen asymptotisch durch eine Normalreihe darstellbar ist, so folgt aus den obigen Entwickelungen, dass das allgemeinste Integral der Gleichung (1) sich asymptotisch durch eine Normalreihe darstellen lässt.