On an extended class of uniform transcendants. (Q1542098)

Es wird der Satz bewiesen: Wenn \[ x_1 = \varphi_1(u), \quad x_2 = \varphi_2(u), \quad \dots, \quad x_n = \varphi_n(u) \] eindeutige Functionen einer Veränderlichen sind, \(m\) irgend eine Zahl mit einem Modul \(>1\), und \[ x_1' = \varphi_1(mu), \quad x_2' = \varphi_2(mu), \quad \dots, x_n' = \varphi_n(mu) \] ist, so kann man immer rationale Functionen \(F_1,F_2,\dots,F_n\) finden, so dass die Gleichungen bestehen: \[ x_1' = F_1 (x_1, x_2, \dots, x_n), \] \[ x_2' = F_2 (x_1, x_2, \dots, x_n), \] \[ \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \] \[ x_n' = F_n (x_1, x_2, \dots, x_n); \] oder die Functionen \(\varphi\) besitzen ein Multiplicationstheorem. Die Functionen \(F\) dürfen in sehr ausgedehnter Weise willkürlich gewählt werden, während die Functionen \(\varphi\) dann immer als Quotienten zweier ganzen Functionen aufgefasst werden können. Diese Transcendenten enthalten als speciellen Fall die elliptischen Functionen, die \(\theta\)-Functionen und jene Functionen, die sich ergeben, wenn man in einer Abel'schen Function alle Veränderlichen bis auf eine verschwinden lässt.