Some new expansions of elliptic functions. (Q1542133)

Der Verfasser geht von den folgenden und damit analogen Reihenentwickelungen aus: \[ \text{dn\,} u = \frac{\pi}{K'} \left\{\frac{e^{- \frac{\pi u}{2k'}}}{1+ e^{- \frac{\pi u}{K'}}} + e^{\frac{\pi u}{K'}} \sum \frac{q'^{\mu}}{1+ q'^{2\mu} e^{\frac{\pi \mu}{K'}}}+e^{- \frac{\pi u}{K'}} \sum \frac{q'^{\mu}}{1+ q'^{2\mu} e^{- \frac{\pi u}{K'}}} \right\}, \] wo \[ q' = e^{-\pi\, \frac{K}{K'}} \] eingeführt wird. Die weitere Entwickelung dieser Formeln beruht auf dem Umstand, dass jeder Ausdruck \[ \frac{1}{e^x + e^{-x}} + \frac{e^{-x}}{1 + e^{-2x}} \] unter der Form \[ \frac{e^{-x} (1- \frac 12 e^{-2x} )}{1+ \frac 12 e^{-2x} (1- e^{-2x})} \] geschrieben werden kann. Das letzte Glied im Nenner beträgt für positive \(x\) im Maximum \(\frac 18\) und es kann demnach mit Vorteil nach den Potenzen dieser Grösse entwickelt werden. Es wird dann \[ \frac{e^{-x}}{1+e^{-2x}} = U^0 (x) + U' (x) + \cdots, \] wo \[ U^{(\mu)} (x) = \frac{(-1)^{\mu}}{2^{\mu}} e^{-(2\mu +1)x} (1 - \frac 12 e^{-2x} )(1- e^{-2x})^{\mu}, \] woraus sich unter anderen folgende Formel ergiebt: \[ \text{dn}u = \frac{\pi}{K'} \text{rés.} \sum_{-\infty}^{+\infty} \sum_0^{\infty} U^{(s)} \left( \frac{\pi}{2K'} (u+ 2\mu K) \right). \] Um die Anwendung dieser Entwickelungen zu erläutern, leitet der Verfasser durch Integration von diesem Ausdrucke eine Entwickelung von am\(u\) ab, welche folgendermassen zusammengesetzt wird \[ \text{am\,} u_1 = \sum_{s=0}^{\infty} F^{(s)}, \] \[ F^{(s)} =- \left(\frac{u_1 - \delta}{K} + \frac 12 \right) A^{(s)} (0) + A^{(s)} (\delta) + \sum_1^{\infty} A^{(s)} (2uK + \delta)- \sum_1^{\infty} A^{(s)} (2uK - \delta), \] \[ \delta = u_1 - 2{\mathfrak m}K<2K, \quad A^{(s)} (u) = \int U^{(s)} \left( \frac{\pi u}{2K'} \right) du. \]