On hyperelliptic sigma functions. (Q1542181)

Herr Klein definirt in dem ersten einleitenden Paragraphen zunächst die Functionen, mit denen er sich beschäftigen will. Er nennt diejenigen Jacobi'schen Functionen \[ \varTheta_a (v_1, v_2, \tau_{11}, \tau_{12}, \tau_{22}) = K_a e^{a_{11} v_1^2 + 2a_{12} v_1 v_2 + a_{22} v_2^2} \vartheta_a (v_1, v_2, \tau_{11}, \tau_{12}, \tau_{22}) \] \(\sigma\)-Functionen, in denen \(K_a\) und die \(a_{11}, a_{12}, a_{22}\) so bestimmt sind, dass sie bei linearer Transformation der Perioden glatt in einander permutiren, wie es in der Theorie der elliptischen Functionen die Weierstrass'schen \(\sigma\)-Functionen thun. Zu diesem Zweck setzt er \(K_a\) für die geraden \(\varTheta\) gleich dem Nullwert der \(\vartheta_a (v_1 v_2) = \vartheta_a\) und bestimmt den Wert von \(a_{11}, a_{12}, a_{22}\) dass bei der Reihenentwickelung des Productes der 10 geraden \(\varTheta\) nach \(v_1, v_2\) das Glied \([v_1, v_2]_2\) gleich Null wird. Es wird gesetzt \[ \sigma (v_1, v_2) = e^{\frac{1}{20} \left( \sum_1^{10} \frac{\vartheta_{11}}{\vartheta} v_1^2 + 2\sum_1^{10} \frac{\vartheta_{12}}{\vartheta} v_1 v_2 + \sum_1^{10} \frac{\vartheta_{22}}{\vartheta} v_2^2 \right)} \frac{\vartheta( v_1, v_2)}{\vartheta}, \] wo \(\sigma\) und \(\vartheta\) alle 10 geraden Functionen repräsentiren, die \(\sum\) über die 10 geraden \(\vartheta\) sich erstecken, und \(\vartheta_{ab}\) hier den Nullwert der zweiten Ableitung von \(\vartheta (v_1, v_2)\) nach \(dv_a, dv_b\) bedeutet. Eine Bemerkung des Verfassers in betreff dieser Functionen bei Herrn Weierstrass entspricht in sofern nicht den Thatsachen, als in der grundlegenden Arbeit dieses Herrn (Crelle J. XLVII) die Constanten \(a_{11}, a_{12}, a_{22}\) für die Function \(Al(u_1)\), welche der Function \(\sigma(u_1, u_2)\) entspricht, vollständig durch die Perioden erster und zweiter Gattung bestimmt sind. In \(\S\) 3 werden in bekannter Weise die Beziehungen zwischen den \(v\) und \(u\) gegeben, die zu \(u_a\) gehörigen Perioden werden \(\omega_{a1}, \omega_{a2}, \omega_{a3}, \omega_{a4}\) und \(\omega_{1i} \omega_{2k} - \omega_{2i} \omega_{1k} =p_{ik}\) bezeichnet, und der Verfasser nennt die \(p_{ik}\) transcendente Covarianten, bez. Invarianten, \(v_1, v_2, \tau_{11}, \tau_{12}, \tau_{22}\) absolute Covarianten, bez. Invarianten der binären Form sechsten Grades \(f\) (der homogenen Variabeln \(z_1 : z_2\) oder \(x_1 : x_2\)), die bei den Integralen unter dem Quadratwurzelzeichen vorkommt. In \(\S\) 4 wird das \(K_a\) entsprechend für die ungeraden \(\sigma\) bestimmt, die Werte der \(a_{11}, \dots\) bleiben natürlich dieselben. Die geraden \(\sigma\) werden als absolute Covarianten, die ungeraden als solche mit dem Index 1 bezeichnet. In \(\S\) 5 werden einige Umformungen des Ausdrucks für den Wert der \(a_{11}, \dots\) gegebenen; in \(\S\) 6 die Functionalgleichungen, denen die \(\sigma\) bei Vermehrung der \(u_1, u_2\) um Perioden unterliegen. Herr Klein führt entsprechend der Weierstrass'schen Beziechung die Perioden zweiter Gattung ein; die Formel 34 stimmt dann inhaltlich vollständig mit der von Herrn Weierstrass in Crelle J. XLVII 303 für \(Al(u_1, \dots)\) gegebenen überein. In \(\S\) 7 geht Herr Klein zu den Integralen dritter Gattung über, definirt diese und stellt als ein ausgezeichnetes und einfaches, \(Q\), das auf, dessen Zähler nicht nur eine rationale, sondern auch eine ganze Covariante von \(f\) ist. In \(\S\) 8 werden die Thetafunctionen durch die Integrale dritter Gattung definirt, im \(\S\) 9 dementsprechend die \(\sigma\)-Functionen, und wird hierzu das erwähnte Normalintegral \(Q\) gebraucht. Die \(\S \S\) 10 und 11 sind der Reihenentwickelung der \(\sigma\)-Functionen nach Potenz von \(u_1, u_2\) gewidmet. Indem auf die schon im \(\S\) 5 erwähnte auf zehn verschiedene Weisen mögliche Zerlegung von \(f\) in zwei kubische Formen \(\varphi\) und \(\psi\), den geraden Thetafunctionen entsprechend, und auf die in sechs Weisen mögliche Zerlegung von \(f\) in eine Linearform \(p\) und eine Form fünften Grades \(\chi\), den ungeraden Theta entsprechend, zurückgegriffen wird, wird erschlossen, dass in den Reihenentwickelungen die Terme \((u_1, u_2)_{2\nu}\) simultane Covarianten der Formen \(\varphi, \psi\), die Terme \((u_1, u_2)_{2\nu +1}\) solche von \(p\) und \(\chi\) sind, in denen die Variabeln durch \(u_1, u_2\) ersetzt sind. Das simultane Formensystem zweier binären kubischen Formen wird aus Clebsch ``Theorie der binären algebraischen Formen'' entnommen und daraus in der dort gegebenen Bezeichnungsweise die Entwickelung von \(\sigma (u_1, u_2)\) nach Potenzen von \(u_1, u_2\) direct hingeschrieben. In \(\S\) 12 werden die Hauptformeln von Weierstrass' Theorie der elliptischen Functionen zum Vergleich herangezogen, und unter Verwendung derselben invarianten Bildungen werden sie in der entsprechenden Form gegeben. In \(\S\) 13 werden dann die elliptischen mit den hyperelliptischen Functionen verglichen. Wie man in der Theorie der elliptischen Functionen sich keineswegs hauptsächlich auf die Nebeneinanderstellung der \(\sigma(u), \sigma_i(u)\) stütze, sondern auf die von \(\sigma(u), \wp(u), \wp'(u)\), welche bei linearer Transformation der Perioden unverändert bleiben, und die Functionen erster Stufe erster, zweiter, dritter Ordnung genannt werden, ebenso müsse man in der Theorie der hyperelliptischen Functionen entsprechende Functionen aufstellen. Dies geschieht im letzten Paragraphen für die einfachsten derselben. Herr Klein schliesst seine Arbeit mit folgenden Worten: ``Das wesentliche Neue meiner Betrachtungen erblicke ich in dem principiellen Anschlusse an die Processe und Begriffsbildungen der Invariantentheorie: nur hierdurch wird von vorneherein die Unterscheidung wesentlicher und unwesentlicher Constanten möglich und also ein wichtiges Hindernis weggehoben, das sich bisher dem Fortschritte der Theorie entgegenstellte. Die elliptischen Functionen zusammen mit den hyperelliptischen Functionen beliebig vieler Argumente erscheinen dabei durch den Umstand ausgezeichnet, dass bei ihnen die Betrachtung einer binären Form zu Grunde zu legen ist (oder doch zu Grunde gelegt werden kann), während man zur Behandlung der allgemeinen Abel'schen Functionen zu Formen mit grösserer Variablenzahl wird schreiten müssen''.