On the functions which are similar to the Legendre functions. (Q1542190)

Es werden die Theoreme bewiesen, welche von Hrn. Stieltjes für die betrachteten Functionen gegeben sind (C. R. C. 439, F. d. M. XVII. 1885. 62, JFM 17.0062.01), z. B. das Theorem: ``Die Function \[ \varPhi (x_1, x_2, \dots, x_n) = (x_1 x_2 \dots x_n)^{\alpha} [(1-x_1)(1-x_2) \dots (1-x_n)]^{\beta} \prod (x_i - x_k)^2, \] wo \(\alpha\) und \(\beta >0\) sind, und die Veränderlichen \(x_1, x_2, \dots, x_n\) in den Grenzen 0 und 1 bleiben, erreicht ihr Maximum, wenn \(x_1, x_2, \dots, x_n\) gleich den Wurzeln der Gleichung \(T_n (\alpha, \beta, x) =0\) werden''. Der Beweis ist basirt auf der Definition der Function \(T_n (\alpha, \beta, x)\) als Nenner der \(n^{\text{ten}}\) Annäherung der Kettenbruchentwickelung des Integrals \(\int_0^1 \frac{z^{\alpha -1} (1-z)^{\beta -1} dz}{x-z}\). Das Maximum selbst wird berechnet. Als Grenzfall des erwähnten Theorems wird noch ein neues Theorem bewiesen: ``Der Ausdruck \[ \xi_1 \xi_2 \dots \xi_n e^{-(\xi_1 + \xi_2 + \cdots + \xi_n)} \pi (\xi_i - \xi_k)^2 \] wird ein Maximum, wenn \(\xi_1, \xi_2, \dots, \xi_n\) gleich den Wurzeln der Gleichung \(\psi_n (\xi) =0\) werden. Die Function \(\psi_n (\xi)\) ist der Nenner des \(n^{\text{ten}}\) Näherungsbruches der Kettenbruchentwickelung des Integrals \(\int_0^{\infty} \frac{e^{-u}du}{\xi -u}\)''.