Altes und Neues zur Lehre von den merkwürdigen Punkten des Dreiecks. (Q1542273)

Der Herr Verfasser giebt im ersten Teile seiner Arbeit eine Geschichte des interessanten Punktes \(M\), für den die Summe seiner Entfernungen von den Ecken des Dreiecks \(ABC\) ein Minimum ist. Dieselbe zeigt in lehrreicher Weise, wie notwendig es ist, bei derartigen wissenschaftlichen Arbeiten die Literatur zu verfolgen. Obwohl seit 1750 bedeutende Mathematiker das vorliegende Problem von den verschiedensten Gesichtspunkten aus bearbeitet hatten, konnte Sachse 1875 diesen merkwürdigen Punkt noch für neu erfunden halten. Folgende Eigenschaften dieses Minimum-Punktes \(M\) werden besonders hervorgehoben und ihre Entdeckung historisch verfolgt: 1. Von \(M\) aus gesehen erscheinen die Seiten des Dreiecks \(ABC\) gleich gross. 2. Setzt man auf die Dreiecksseiten nach aussen hin gleichseitige Dreiecke mit den Spitzen \(X, Y, Z\) und den Mittelpunkten \(U, V, W\) auf, so schneiden sich \(AX, BY, CZ\) in \(M\) und zwar so, dass das Minimum \(MA+MB+MC =AX = BY = CZ= k\) ist; \(UVW\) ist gleichseitig. 3. Setzt man ebenso die gleichseitigen Dreiecke nach innen auf, sind \(X', Y', Z'\) die Spitzen und \(U', V', W'\) die Mittelpunkte, so gehen auch \(AX', BY', CZ'\) durch einen Punkt \(M'\) und es ist \(AX' =BY' =CZ' =k'\); auch \(U'V'W'\) ist gleichseitig. \(UVW- U'V'W' =ABC\), und diese drei Dreiecke haben denselben Schwerpunkt; \(k^2 + k'^2 =a^2 + b^2 + c^2\). 4. Dasjenige gleichseitige Dreieck, dessen Seiten auf \(MA, MB, MC\) in \(ABC\) senkrecht stehen, ist das grösste dem \(ABC\) umgeschriebene gleichseitige Dreieck. 5 Ist \(L\) der Winkelgegenpunkt von \(M\) und sind \(A', B', C'\) die Fusspunkte der von \(L\) auf \(BC, CA, AB\) gefällten Lote, so ist \(A'B'C'\) das kleinste dem \(ABC\) eingeschriebene gleichseitige Dreieck. Im zweiten Teil giebt der Verfasser selbständige Untersuchungen, indem er die gleichseitigen Dreiecke durch beliebige aber ähnliche mit den Winkeln \(\xi,\eta,\zeta\) ersetzt, so dass an der Ecke \(A\) beiderseits \(\xi\), bei \(B\) \(\eta\) bei \(C\) \(\zeta\) angetragen ist. Er zeigt, dass die Umkreise dieser drei Dreiecke sich in einem Punkte \(O\) so schneiden, dass \(OA\sin\xi+OB\sin\eta + OC\sin\zeta = AX\sin \xi = BY\sin \eta = CZ\sin \zeta\) ist. Haben \(U, V, W\) und \(U', V', W'\) ähnliche Bedeutung wie oben in 4, so ist auch hier \(UVW-U'V'W' = ABC\). Die Seiten des grössten dem \(ABC\) umgeschriebenen Dreiecks von der Form \(\xi\eta\zeta\) stehen auf \(OA, OB, OC\) senkrecht, und die Seiten jedes andern umgeschriebenen Dreiecks voll derselben Form bilden mit \(OA, OB, OC\) gleiche Winkel. Ist \(O'\) der Winkelgegenpunkt von \(O\) und zieht man von \(O'\) unter gleichem Neigungswinkel \(\psi'\) gegen die Seiten 3 Transversalen, so hat das Fusspunktendreieck constante Gestalt; daaselbe ist ein Minimum für \(\psi=90^{\circ}\). Die Uebereinstimmung dieser allgemeinen Sätze mit den obigen speciellen liegt auf der Hand. In den letzten Paragraphen 18 bis 25 werden noch weitere interessante Folgerungen gezogen, indem \(O\) in die Lagen der übrigen merkwürdigen Punkte (Höhenpunkt, Um- und Inkreiscentrum etc.) versetzt wird.