Ueber das Fünfflach und Sechsflach und die damit zusammenhängende Kummer'sche Configuration. (Q1542369)

Herr Reye hatte im LXXXVI. Bande des Journ. f. Math. S. 209 eine directe synthetische Begründung der Construction gegeben, welch von sechs beliebigen Punkten des Raumes aus zu der merkwürdigen Kummer'schen Configuration der 16 Knotenpunkte und 16 singulären Ebenen einer Kummer'schen Fläche vierten Grades führt. Im Gegensatz zu der eleganten und kurzen, aber doch die Eigenschaften eines Nullsystems voraussetzenden Reye'schen Begründung, giebt Herr Schröter hier eine Herleitung, welche, wie es bei dem elementaren Charakter der Construction wünschenswert ist, nur die elementar-stereometrischen Hülfsmittel benutzt. Zugleich lässt diese Herleitung die vollständige räumliche Configuration in fertiger Form hervortreten, zeigt ihren in sich dualen Charakter und führt endlich auf einige Eigenschaften des Fünfflaches und Sechsflachs, die wohl in dieser Form noch nicht ausgesprochen waren. Die 16 Punkte und 16 Ebenen ergeben sich bei Reye in folgender Weise. Wenn man aus fünf beliebigen Ebenen \(\alpha, \beta, \gamma, \delta, \varepsilon\) des Raumes die beiden räumlichen Fünfecke \[ (\beta\gamma\delta), \quad (\delta\varepsilon\alpha), \quad (\alpha\beta\gamma), \quad (\gamma\delta\varepsilon), \quad (\varepsilon\alpha\beta); \] \[ (\alpha\gamma\varepsilon), \quad (\gamma \varepsilon\beta), \quad (\varepsilon\beta\delta), \quad (\beta\delta\alpha), \quad (\delta\alpha\gamma) \] bildet, und die Ecken und Seiten derselben in der angegebenen Reihenfolge sich entsprechen lässt, so wird jede sechste Ebene \(\varphi\) von den entsprechenden Seiten der beiden Fünfecke in Punktepaaren getroffen, deren fünf Verbindungslinien sämtlich durch einen und denselben Punkt \(\mathfrak f\) gehen. Wenn man diesen Satz, in dem \(\varphi\) bevorzugt erscheint, so ausspricht, dass \(\alpha, \beta, \gamma, \delta\, \varepsilon\) bevorzugt werden, so gesellen sich Punkte \(\mathfrak f\) noch weitere fünf Punkte \(\mathfrak{a, b, c, b, e}\) zu. Diese sechs Punkte geben nun im Verein mit den zehn Ecken der erwähnten beiden Fünfecke die 16 Punkte der Kummer'schen Configuration. Die 16 Ebenen derselben setzen sich aus den sechs Ebenen \(\alpha, \beta, \gamma, \delta, \varepsilon, \varphi\) und gewissen zweimal fünf Verbindungsebenen je dreier von den zehn Ecken der beiden Fünfecke zusammen. Mit den Resultaten dieser Abhandlung stehen die Resultate in engem Zusammenhang, auf welche etwa gleichzeitig Herr F. Klein von ganz anderen Gesichtspunkten aus in den Math. Ann. XXVII. 106 u. f. kommt.