Di alcune superficie del \(5^{\circ}\) e del \(6^{\circ}\) ordine che si deducono dello spazio a sei dimensioni. (Q1542457)

Im Raume von sechs Dimensionen wird das Erzeugnis dreier collinearen Bündel aus Räumen vierter Dimension mit den Centren \(S_3^{(1)}, S_3^{(2)}, S_3^{(3)},\) dritter Dimension ins Auge gefasst. In einer früheren Abhandlung hat der Verfasser (Comptes rendus CII, siehe Referat S. 612, JFM 18.0612.01), eine Abbildung der Fläche auf eine Ebene \(\varOmega_2\) gegeben. In derselben fanden sich drei Hauptpunkte \(P_1, P_2, P_3\) denen drei windschiefe Gerade der Fläche entsprechen; drei andere, welche mit jenen ein Sechseck bilden, entsprechen den Geraden \(P_2P_3, P_3P_1, P_1P_2\). Die Curve sechster Ordnung und vom Geschlecht 1, die irgend ein Raum fünfter Dimension ausschneidet, wird durch eine \(P_1, P_2, P_3\) umschriebene Curve dritter Ordnung repräsentirt. Die Fläche enthält zwei zweifach unendliche Systeme von Raumcurven dritter Ordnung. Die einen werden durch Gerade, die anderen durch \(P_1, P_2, P_3\), umschriebene Kegelschnitte repräsentirt. Zwei solche Curven haben daher zwei Punkte gemeinsam oder nur einen, je nachdem sie zu verschiedenen Systemen gehören, oder nicht. Durch zwei Punkte der Fläche geht genau eine Curve jedes Systems. Drei einfach unendliche Kegelschnittscharen auf \(F_2^6\) werden durch die Strahlen der Bündel \(P_1, P_2, P_3\) repräsentirt. Zwei Kegelschnitte treffen sich in einem Punkte, falls sie zu verschiedenen Systemen gehören. Die Kegelschnitte, welche \(P_2, P_3; P_3, P_1; P_1, P_2\) enthalten, repräsentiren dreifach unendliche Systeme von Normalcurven vierter Ordnung, die also durch Räume vierter Dimension erstreckt sind. Die Beziehung der besonderen Gebilde zum Sechseck der Fläche ist diese: Jede Raumcurve dritter Ordnung trifft drei nicht auf einander folgende Seiten desselben, jeder Kegelschnitt ein Paar und jede Normalcurve vierter Ordnung zwei Paare gegenüberliegender Seiten desselben. Zwei Curven dritter Ordnung, die \(P_1, P_2, P_3\) enthalten, haben die Repräsentanten der Punkte mit einander gemeinsam, welche von \(F_2^6\), in einem Raum vierter Dimension liegen. Daher ist eben die Zahl dieser Punkte im allgemeinen gleich 6, und ein solcher Raum kann ausser einer Raumcurve dritter Ordnung nur noch einen Punkt, neben einem Kegelschnitt bezw. einer Geraden nur noch zwei bezw. drei Punkte mit \(F_2^6\), gemein haben. Aus dem ersteren Resultat kann geschlossen werden, dass Gerade, die mehr als zwei Punkte von \(F_2^6\), enthalten, nicht existiren. Da die Fläche \(F_2^6\) von einer Ebene \(O_2\) aus auf einen Raum zu projiciren ist, so handelt es sich zunächst um die Sehnen derselben, welche \(O_2\) treffen. Da jede Sehne der Fläche auch als eine Sehne einer Raumcurve dritter Ordnung gedeutet werden kann, so senden alle die Punkte von \(O_2\) Sehnen aus, die von den räumlichen Trägern der Curven getroffen werden. Der Ort dieser Punkte ist von der dritten Ordnung. Von \(O_2\) aus werden die Sehnen in Punkte einer Curve neunter Ordnung irgend eines Raumes von \(S_6\) projicirt. Ein Raum fünfter Dimension, welcher von \(O_2\) ausgeht, trifft die Projection von \(F_2^6\) in einer ebenen Curve \(6^{\text{ter}}\) Ordnung vom Geschlecht 1, die daher neun Doppelpunkte besitzt; diese Punkte aber hat die Ebene der Curve mit der Projection der Sehnenschar gemeinsam. Die Curve neunter Ordnung ist vom Geschlecht 1, da sie auf die ebene Curve dritter Ordnung von \(O_2\) eindentig bezogen ist. Es giebt daher vier \(O_2\), enthaltende gewühnliche Raume, die zwei verschiedene von \(O_2\), ausgehende Sehnen enthalten. Diese Räume projiciren nämlich die Doppelpunkte einer (1,1) Correspondenz auf der Curve \(9^{\text{ter}}\) Ordnung. Je zwei derartige Sehnen treffen sich aber auf \(F_2^6\); jeder derartige Raum enthält also nur drei Punkte derselben, und wir erhalten vier dreifache Punkte auf der Curve neunter Ordnung. Die Zahl der dreifach berührenden Raume fünfter Dimension, welche von \(O_2\) ausgehen, giebt Herr Bordiga auf 30 an (No.7). Unter denselben finden sich sechs, von denen jede in zwei Geraden und in einer Normalcurve vierter Ordnung schneidet, von 18 anderen schnidet jede einzelne in einer Geraden, in einem Kegelschnitt und in einer Raumcurve dritter Ordnung. Endlich werden einzelne der Fläche in je drei Kegelschnitten begegnen; die Ueberlegung des Herrn Verfassers hierfür scheint dem Referenten aber anfechtbar zu sein. Lässt man Raume fünfter Dimension bestandig \(O_2\) und der Reihe nach die Trager der Kegelschnitte eines bestimmten Systems enthalten, schneiden sie eine bestimmte Schar von Normalcurven vierter Ordnung aus. In der Reprasentationsebene \(\varOmega_2\) erhält man nach Herrn Bordiga's Ansicht zwei projectivische Btischel von Strahlen, die durch \(P_i\), und von Kegelschnitten, die durch \(P_k\) und \(P_l\) hindurch gehen. Von diesen lösen sich dann zwei in Gerade auf, die \(P_k\), und \(P_l\) enthalten. Entsprechend erhalten wir zwei Räume fünfter Dimension, die je drei Kegelschnitte aussehneiden. Die Wiederholung der Ueberlegung mit Bevorzugung erst von \(P_k\) hernach von \(P_l\) soll auf zwei weitere Tripel von Kegelschnitten führen. Dagegen lässt sich aber geltend machen, dass man von den \(P_k\), und \(P_l\) enthaltenden Kegelschnitten der betrachteten Reihe offenbar vier willkürlich festsetzen, jedem von ihnen einen Strahl des Büschels \(P_i\) willkürlich zuordnen und diese, besonderen Curven dritter Ordnung als Abbilder von vier Curven sechster Ordnung ansehen kann, deren Träger eine Ebene mit einander gemein haben. Der Fehlschluss wiederholt sich übrigens in No. 18, wo es sich um die Klasse des Kegels aus den beschriebenen Räumen fünfter Dimension handelt. Aus dem Entwickelten geht hervor, dass die Projection \(\varphi^6\) von \(F_2^6\) auf einen gewöhnlichen Raum eine Nodalcurve neunter Ordnung mit vier dreifachen Punkten besitzt, sechs Gerade von \(\varphi^6\) hat die Curve zu dreifach schneidenden Sehnen. Die dreipunktig berührenden und Von \(O_2\) ausgehenden fünffachen Mannigfaltigkeiten ergeben dreipunktig berührende Tangentialebenen von \(\varphi^6\). Es versteht sich, dass auf \(\varphi^6\) je drei Systeme von Kegelschnitten und rationalen Curven dritter, bezw. vierter Ordnung liegen, die der Reihe nach von einfacher, zweifacher und dreifacher Mächtigkeit sind. Von den doppelt berührenden Ebenen von \(\varphi^6\) enthalten die einen eine Gerade der Fläche, andere einen Kegelschnitt und eine ebene rationale Curve vierter Ordnung, andere endlich zwei ebene rationale Curven dritter Ordnung. Im \(\S\) 3 werden specielle Lagen von \(O_2\), ins Auge gefasst. Liegt die Ebene mit dem Sechseck von \(F_2^6\) in einem Raume fünfter Dimension, so erhält \(\varphi^6\) ein ebenes Sechseck. Liegt \(O_2\) mit fünf Ecken des ersteren in einem Raume vierter Dimension, so löst sich die Nodalcurve in eine vierfach und in drei zweifach zählende Gerade, die die erstere treffen, auf. Daneben liegen noch zwei einfache Gerade vor. Der Projection von \(\varphi^6\) kann man bis zu drei Doppelgerade verleihen, wenn man einzelne Punkte von \(O_2\), in die Ebenen ebenso vieler Kegelschnitte von \(F_2^6\) gelangen lässt. Je nachdem die Kegelschnitte aus den verschiedenen Systemen von \(\varphi^6\) entnommen werden, ändert sich ihre Beziehung zu einander und zu den Seiten des Sechseckes. Hat \(O_2\) mit dem Träger einer Raumcurve von \(F_2^6\) eine Gerade gemeinsam, so erhält \(\varphi^6\) eine dreifache Gerade. Liegt \(O_2\) ganz in dem Träger einer Normalcurve vierter Ordnung, so erhält \(\varphi^6\) eine vierfache Gerade, u. s. f. Hat (\(\S\) 4) \(O_2\) einen Punkt mit \(F_2^6\) gemeinsam, so erhält man eine Fläche \(\varphi^5\) mit 10 Geraden, von denen sechs aus denen von \(F_2^6\), drei aus den durch den betreffenden Punkt gehenden Kegelschnitten sich ergeben; endlich entsteht eine aus dem Raume vierter Dimension, der ausser \(O_2\) die Tangenten von \(F_2^6\) in dem bezeichneten Punkte enthält. Hat \(O_2\) zwei oder drei Punkte mit \(F_2^6\) gemeinsam, so entsteht eine Fläche vierter Ordnung mit einem Doppelkegelschnitt, bezw. eine solche dritter Ordnung. Nachdem Herr Bordiga die besonderen Fälle kurz beleuchtet hat, wo die drei Hauptpunkte in \(\varOmega_2\) sich entweder vereinigen oder auf eine Gerade gelangen, zeigt er, dass eine Abbildung von \(F_2^6\) auf eine Ebene durch Projection von verschiedenen gewöhnlichen Räumen aus bewerkstelligt werden kann. In diesen Raum kann man eine Raumcurve dritter Ordnung von \(F_2^6\), einen Kegelschnitt und einen Punkt, eine Gerade und zwei Punkte, oder endlich einen Punkt und die Tangenten in einem anderen hineinverlegen. Im ersten Fall erhält man genau die Beziehung von zur Fläche. Die verschiedenen auf \(F_2^6\) eindeutig bezogenen Ebenen stehen paarweise in quadratischer, bez. kubischer Verwandtschaft.