Zur Theorie der Doppelpunkte und Doppeltangenten der ebenen rationalen Curven. (Q1542520)

Eine ebene rationale Curve \(n^{\text{ter}}\) Ordnung wird durch die Parameterdarstellung \[ x_1:x_2:x_3=A(t):B(t):C(t) \] gegeben. Sie hat \((n-1)(n-2)\) Doppelpunkte, deren Parametergleichung von Herrn Haase (Klein Ann. Bd. II) gegeben wurde. Sind \(t_1\) und \(t_2\) die Parameterwerte für denselben Doppelpunkt und wird \(\sigma =t_1+t_2,\;\tau =t_1t_2\) gesetzt, so bestimmt der Verfasser für \(\sigma\) eine Gleichung vom Grade \(\frac {(n-1)(n-2)}2\). \(\tau\) ist dann rational durch \(\sigma\) ausdrückbar und die Doppelpunkte sind durch \(\frac {(n-1)(n-2)}2\) Gleichungen von der Form: \(T^2-\sigma T+\tau =0\) gegeben. Für \(n=4,\; 5,\; 6\) werden diese Gleichungen für \(\sigma\) abgeleitet. In analoger Weise wird die Gleichung der Parameter für die Berührungspunkte der Doppeltangenten behandelt. Die Lösung derselben wird zurückgeführt auf diejenigen einer Gleichung \(2(n-3)(n-2)^{\text{ten}}\) Grades und \(2(n-3)(n-2)\) quadratischer Gleichungen.