Die Mechanik in den nichteuklidischen Raumformen. (Q1542587)

Von der Bemerkung ausgehend, dass die Bewegungsgleichungen der gewöhnlichen Mechanik sich auf das \(n\)-dimensionale Gebiet ausdehnen lassen, stellt sich der Verfasser die Aufgabe, für dieses Gebiet aus den mechanischen Principien die vom Parallelenaxiom unabhängigen Bewegungsgleichungen abzuleiten. Es werden demnach in einer \((n+1)\)-fach ausgedehnten Euklidischen Raumform die Bewegungsgleichungen für Punkte aufgestellt, deren Bewegung auf ein \(n\)-fach ausgedehntes Kugelgebilde beschränkt ist. Aus diesen allgemeinen Gleichungen werden dann diejenigen, welche für besondere Raumformen gelten, durch specielle Annahmen hinsichtlich des Kugelradius und der Coordinaten gewonnen. In der Methode und den Hülfsmitteln der Untersuchung schliesst sich diese Arbeit genau an die bekannten früheren Arbeiten des Verfassers auf dem Gebiete der nichteuklidischen Raumformen an. Im einzelnen giebt der Verfasser in der Einleitung einen die Wahl des Stoffes motivirenden Ueberblick über das Ganze. Sodann wird zuerst die Bewegung eines freien Punktes im dreidimensionalen Raum untersucht. Da die Grundbegriffe der Mechanik: Masse, Dichtigkeit, Geschwindigkeit und Kraft, von der Unendlichkeit der Geraden, d. h. vom Parallelenaxiom, unabhängig sind, und selbst das Parallelogramm der Kräfte für ein unendlich kleines Gebiet in Geltung bleibt, so werden die verlangten Bewegungsgleichungen einfach durch Einführung der Weierstrass'schen Coordinaten in die gewöhnlichen Gleichungen erhalten. Als Beispiel dienen die Gesetze der Planetenbewegung. Es folgt die Bewegung eines Punktes auf einer Fläche mit Anwendung auf das Pendel, und die Bewegung eines Punktsystems im Raume. Unter den Resultaten ist hervorzuheben, dass von den Kepler'schen Gesetzen das erste gar nicht, das dritte nur unwesentlich verändert wird, während im zweiten der doppelte Radius an die Stelle des einfachen tritt. Ebenso bleibt der Isochronismus kleiner Pendelschwingungen das Hamilton'sche Princip und der Satz von der lebendigen Kraft unverändert. Hingegen werden die Sätze vom Schwerpunkt ungültig. Da die krümmungslose Beschaffenheit unseres Weltraumes neuerdings in Zweifel gezogen worden ist, so gewinnen diese Anwendungen auf physische Erscheinungen dadurch ein besonderes Interesse, dass sie zeigen, nach welchen Richtungen hin die Entscheidung über diese Fragen gesucht werden könnte. In den folgenden Abschnitten wird die Ausdehnung der vorangehenden Untersuchungen auf das \(n\)-dimensionale Gebiet durchgeführt. Als Beispiele werden u. a. behandelt die kürzesten Linien auf einem Gebilde und die Bewegung eines von einem festen Punkte nach einer beliebigen Function der Entfernung angezogenen Punktes. Hieran schliesst sich eine Erweiterung des Newton'schen Gesetzes, die Theorien der unendlich kleinen und endlichen Bewegung eines Körpers und die der Trägheitsmomente.