Zur Theorie der Bewegung räumlicher Systeme. (Q1542611)

Wenn ein starres System \(\Sigma\) in eine andere Lage \(\Sigma_1\) und aus dieser in \(\Sigma_2\) übergeführt wird, so geht irgend ein Punkt \(P\) in die Lage \(P_1\) und aus dieser in die Lage \(P_2\) über. Denkt man in der Mitte in der Geraden \(\overline{PP_1}\), je eine Normalebene \(\pi^\nu\) errichtet, so stehen diese, welche das System \(\Sigma^\nu\) bilden mögen, mit den Punkten \(P\) des Systems \(\Sigma\) in reciproker Verwandtschaft. Ebenso entspringt aus den Punkten \(P_1\) und \(P_2\) ein System \(\Sigma_1^\nu\) welches mit dem System \(\Sigma_1\) reciprok ist. Da aber \(\Sigma\) und \(\Sigma_1\) congruent sind, so sind \(\Sigma^\nu\) und \(\Sigma_1^\nu\) collinear. Je zwei entsprechende Normalebenen \(\pi^\nu\) und \(\pi_1^\nu\) schneiden sich in einer Geraden \(\kappa\); durch Drehung um diese kann \(P\) in \(P_1\), und in \(P_2\), übergeführt werden. Diese Gerade wird Mittelpunktsaxe genannt, und die den Punkten \(P\) zugehörigen Mittelpunktsaxen \(\kappa\) bilden einen allgemeinen tetraedralen Strahlencomplex. Die Beziehungen der Punkte \(P\) des Systems \(\Sigma\) zu den Elementen jenes Strahlencomplexes führen den Verfasser zu folgenden interessanten Ergebnissen: Alle Punkte des starren Systems, für welche drei aufeinander folgende Lagen in derselben Geraden liegen, bilden im allgemeinen eine Raumcurve \(i^3\) dritter Ordnung. Dieselbe geht durch die unendlich fernen Punkte der beiden Geraden des Systems, um welche die beiden Schraubenbewegungen, die dasselbe erleidet, stattfinden. Sind diese Axen, um welche die beiden Schraubenbewegungen stattfinden, einander parallel, so zerfällt \(i^3\), und es giebt stets eine Gerade, deren sämtliche Punkte die Eigenschaft haben, dass die drei Lagen \(P, P_1, P_2\) in einer Geraden enthalten sind. Existirt umgekehrt eine solche Gerade, so sind die beiden Axen der Schraubenbewegung einander parallel. Sind \(\Sigma,\;\Sigma_1,\;\Sigma_2,\;\Sigma_3\) vier verschiedene Lagen eines starren Systems und \(P,\;P_1,\;P_2,\;P_3\) homologe Punkte in diesen vier Lagen so giebt es einen Punkt \(P^c\), welcher von jenen vier Punkten gleiche Entfernung hat. Das System der Punkte \(P^c\) steht mit dem System der Punkte \(P\) in eindeutiger Verwandtschaft. Aus der Untersuchung dieser Verwandtschaft wird folgendes Theorem gewonnen: Es giebt in dem räumlichen System \(\Sigma\) unendlich viele Punkte \(P\) von der Eigenschaft, dass die vier Lagen \(P,\;P_1,\;P_2,\;P_3\) in einer einzigen Ebene liegen. Die Gesamtheit derselben bildet im allgemeinen eine Fläche dritter Ordnung \(F^3\). Auf derselben liegt auch die oben erwähnte Raumcurve \(i^3\). So wie die Fläche \(F^3\) zu den Lagen \(\Sigma,\;\Sigma_1,\;\Sigma_2,\;\Sigma_3\) des starren Systems gehört, so giebt es auch eine Fläche \(F_1^3\) die zu den Lagen \(\Sigma_1,\;\Sigma_2,\;\Sigma_3,\;\Sigma_4\) gehört, und die Curve \(i_1^3\) enthält. Beide Flächen schneiden sich in einer Raumcurve neunter Ordnung, welche aber in die Curve \(i_1^3\) und in eine Curve \(C^6\) sechster Ordnung zerfällt. Diese Curve \(C^6\) enthält diejenigen Punkte des starren Systems \(\Sigma\), für welche fünf Lagen \(P,\;P_1,\;P_2,\;P_3,\;P_4\) derselben Ebene angehören. Die Bedingung endlich, dass sechs aufeinander folgende Lagen \(P,\;P_1,\dots,P_5\) derselben Ebene angehören, erfüllen neun Punkte des starren Systems. Auf der Fläche \(F^3\) giebt es noch eine andere Curve sechster Ordnung \(k^6\), welche diejenigen Punkte des starren Systems enthält, welche bei vier auf einander folgenden Lagen demselben Kreise angehören. Die Punkte des starren Systems, welche bei fünf auf einander folgenden Lagen einer Kugel angehören, bilden eine Fläche vierter Ordnung \(F^4\), die Punkte, welche während sechs aufeinander folgender Lagen auf einer Kugel bleiben, eine Raumcurve zehnter Ordnung; endlich haben 16 Punkte die Eigenschaft, während sieben auf einander folgender Lagen auf derselben Kugel zu bleiben. Setzt man bei obigen Relationen unendlich nahe Verschiebungen voraus, so gehen die Sätze in Theoreme über die Krümmung der Bahncurven über, welche von den Punkten des starren Systems beschrieben werden.