Sur la théorie de Poinsot et sur deux mouvements correspondant à la même polhodie. (Q1542637)

Eine allgemeinere als die von Poinsot betrachtete Bewegungsform besteht darin, dass man nicht ein Ellipsoid, dessen Axen bestimmten Bedingungen der Ungleichheit unterworfen sind, auf einer festen Ebene mit einer Geschwindigkeit, proportional dem Richtstrahl vom Centrum nach dem Berührungspunkt, rollen lässt, sondern eine ganz beliebige Mittelpunktsfläche zweiten Grades. Eine derartige Bewegung ist bestimmt durch die Gleichungen: \[ (1)\quad \left\{\begin{matrix} \,\frac{dp}{dt}=\,\frac{a(c-b)}{bc}\;qr,\quad \,\frac{dq}{dt}=\,\frac{b(a-b)}{ca}\;rp; \\ \,\frac{dr}{dt}=\,\frac{c(b-a)}{ab}\;pq.\end{matrix} \right. \] Hierin bedeuten \(a,\;b,\;c\) die Quadrate der Halbaxen der Fläche, welche auf der festen Ebene rollt. Würde man an Stelle obiger Gleichungen die folgenden drei wählen: \[ (2)\quad \,\frac{dp}{dt}=\alpha_1qr,\quad \,\frac{dq}{dt}=\beta_1rp,\quad \,\frac{dr}{dt}=\gamma_1pq, \] so würde dadurch eine allgemeinere Bewegungsform gekennzeichnet sein. Sie würde dem ersten System von Gleichungen entsprechen, wenn als Bedingung hinzutritt \[ (3)\quad\alpha_1+\beta_1+\gamma_1+\alpha_1\beta_1\gamma_1=0. \] Die Bewegung, welche durch das Gleichungssystem (1) gegeben ist, wird kurzweg als Poinsot'sche Bewegung bezeichnet. Sind \(p,\;q,\;r\) Rotationen, welche (1) genügen, so werden, wenn \(\alpha',\beta',\gamma'\) constante Zahlen bedeuten, die Grössen \[ p'=\alpha'p,\quad q'=\beta'q,\quad r'=\gamma'r \] dem Gleichungssystem (2) genügen, falls \[ \alpha_1=\,\frac{a(c-b)}{bc}\cdot\,\frac{\alpha'}{\beta'\gamma'},\quad \beta_1=\,\frac{b(a-c)}{ca}\cdot\,\frac{\beta'}{\gamma'\alpha'}, \] \[ \gamma_1=\,\frac{c(b-a)}{ab}\cdot\,\frac{\gamma'}{\alpha'\beta'} \] gesetzt wird, die Bedingung (3) aber führt zu der Relation \[ a^2(c-b)(\alpha'^2-1)+b^2(a-c)(\beta'^2-1)+c^2(b-a)(\gamma'^2-1)=0. \] Dieser Bedingung müssen also die Constanten \(\alpha',\beta',\gamma'\) genügen, wenn die Rotationen \(p', q', r'\) eine Bewegungsform vom Charakter von (1) darstellen sollen. Zwei der Grössen \(\alpha',\beta',\gamma'\) bleiben, wie man bemerken mag, willkürlich. Es giebt demnach eine ganze Reihe von Bewegungsformen, welche mit der bestimmten Bewegungsform von (1) verknüpft sind. In der vorliegenden Arbeit wird die besondere Bewegung betrachtet, welche durch \(\alpha'=-1\), \(\beta'=-1\), \(\gamma'=-1\) bestimmt ist, für welche also \(p' = -p\), \(q' = -q\), \(r' = -r\) ist. Wird die durch (1) beschriebene Bewegung durch \((E)\) bezeichnet, so wird bei dieser Bewegung \((E')\) die Rotation gleich aber entgegengesetzt der von \((E)\) sein. Der zweiten Bewegung gehören Grössen \(a', b', c', h'\) in demselben Sinne an, wie die Grössen \(a, b, c, h\) der Bewegung \((E);\;h\) aber bedeutet in dieser die durch das Integral der lebendigen Kräfte \(\,\frac{p^2}{a}+\,\frac{q^2}{b}+\,\frac{r^2}{c}\) eingehende Constante. Die Grössen \(a', b', c', h'\) werden in ihrer Abhängigkeit von \(a, b, c, h\) dargestellt und dadurch auch in dieser Form die Reciprocität beider Bewegungen zum Ausdruck gebracht. Der Vergleich beider Bewegungen führt zu dem Ergebnis, dass für beide Bewegungen die Polodie \((P)\) übereinstimmt. Ist \((C)\) der durch sie und das feste Centrum bestimmte Kegel, so rollt bei der ersten Bewegung \((E)\) dieser Kegel auf einem festen Kegel \((A)\), welcher zur Basis eine Herpolodie \((H)\) hat, bei der zweiten Bewegung rollt derselbe Kegel \((C)\) auf einem festen Kegel \((B)\), welcher zur Basis eine Herpolodie \((H')\) hat, bei beiden Bewegungen aber ist jeden Moment dieselbe Kante des Kegels \((C)\) in Berührung mit den festen Kegeln. Denkt man daher \((C)\) fest und lässt gegen \((C)\) sich \((A)\) und \((B)\) bewegen, so erkennt man, dass die Bewegung von \((B)\) gegen \((A)\) relativ so aufgefasst werden darf, als rolle \((B)\) auf \((A)\). An diese Betrachtung schliesst endlich der Verfasser das Theorem an: ``Die Schnittcurve zweier concentrischen Flächen zweiten Grades, welche dieselben Axenrichtungen haben, kann, und zwar auf zwei verschiedene Weisen, als Polodie betrachtet werden''.