On waves propagated along the plane surface of an elastic solid. (Q1542799)

Das Verhalten von Wellen auf der freien ebenen Oberfläche eines unbegrenzten festen homogenen isotropen elastischen Körpers soll untersucht werden, wenn die Störung eine Oberflächenstelle, deren Dicke mit der Wellenlänge vergleichbar ist, nicht überschreitet. Der Fall ist analog dem von Wellen auf tiefem Wasser, nur dass das Energiepotential vom elastischen Abprallen statt von der Schwerkraft abhängt. Die freie Oberfläche wird als die Ebene \(z = 0\) genommen, und es wird vorausgesetzt, dass die Dilatation \[ \theta=Pe^{-rz}=e^{ipt} e^{ifx} e^{igy} e^{-rz} \] ist, und die Verrückungen \(\alpha,\beta,\gamma\) sich wie \(e^{ipt}e^{ifx}e^{igy}\) ändern. Es sei \[ h^2=\,\frac{\varrho p^2}{\lambda+2\mu},\quad k^2=\,\frac{\varrho p^2}{\mu}, \] wenn \(\varrho\) die Dichte, \(\lambda\) und \(\mu\) die Lamé'schen Constanten bedeuten. Wenn auf die Oberfläche keine Normalkraft wirkt, erhält der Verfasser in dem Falle, dass der Körper nicht zusammendrückbar ist, zunächst die Gleichung, durch welche die Schwingungsdauer als Function der Wellenlänge und der Eigenschaften des festen Körpers bestimmt ist, und dann die Werte für die Verrückungen: \[ \begin{aligned} h^2\alpha &= if\{ -e^{-rz}+0,5433 e^{-sz} \} e^{ipt} e^{ifx} e^{igy}, \\ h^2\beta &= ig\{ -e^{-rz}+0,5433 e^{-sz} \} e^{ipt} e^{ifx} e^{igy}, \\ h^2\gamma &= r\{ e^{-rz}-1,840 e^{-sz} \} e^{ipt} e^{ifx} e^{igy}, \\ r^2 &=f^2+g^2,\quad s^2=0,08725(f^2+g^2). \end{aligned} \] Wenn man diese Gleichungen specialisirt, indem man die Bewegung in einer zur \(xz\)-Ebene parallelen Ebene betrachtet und die Gleichungen für die fortschreitenden Wellen aufstellt, ergiebt sich, dass die horizontale Bewegung in der Tiefe \(0,1378 \lambda'\), falls \(\lambda'\) die Wellenlänge \(2\pi:l\) ist, und die verticale Bewegung in keiner Tiefe verschwindet. Indem \(z=0\) gesetzt wird, erhält man die Bewegung an der Oberfläche selbst, und es zeigt sich, dass diese Bewegung in Ellipsen stattfindet, deren verticale Axen nahe doppelt so gross sind, wie die horizontalen Axen. Die Ausdrücke für die stationären Schwingungen werden auch gegeben. Es wird noch der Fall einer bestimmten Zusammendrückbarkeit des Körpers betrachtet und schliesslich bemerkt, es sei nicht unwahrscheinlich, dass die hier behandelten Wellen eine wesentliche Rolle bei den Erdbeben und beim Zusammenstoss fester elastischer Körper spielen.