Das Princip der Energie in seiner Anwendung auf die ponderomotorischen und elektromotorischen Wirkungen des elektrischen Stromes. (Q1542892)

Es sei \(W\) die potentielle Energie eines Systems, also \(dA = -dW\) die Arbeit der innern Kräfte; ferner \(T\) die kinetische Energie, \(U\) der Wärmeinhalt, \(A_1\) die Arbeit äusserer Kräfte; dann wird, wenn keine Wärmezufuhr von aussen stattfindet, das Princip der Energie durch die Gleichung ausgedrückt \[ (1)\quad \varDelta W+\varDelta T+\varDelta U-A_1=0. \] Der Verfasser bemerkt, dass aus der Existenz einer Energiefunction \(W\) für die Gesamtheit der innern Kräfte nicht ohne eine besondere Hypothese folgt, dass auch für jede einzelne Kräfteart eine solche Function existirt. Es seien nun zwei unveränderliche Stromkreise mit den veränderlichen Intensitäten \(J_1, J_2\), den äussern (gewöhnlichen) elektromotorischen Kräften \(E_1, E_2\) und den Widerständen \(R_1, R_2\) gegeben; es werde die Hypothese gemacht, dass dieselben ein elektrodynamisches Potential von der Form \[ (2)\quad W=J_1J_2V+ \,\tfrac 12 J_1^2 V_1 + \,\tfrac 12 J_2^2 V_2 \] besitzen, sodass die Arbeit der sämtlichen elektrodynamischen Kräfte ist \[ (3)\quad dA = -dW = J_1J_2dV-J_1d(J_2 V+J_1V_1)-J_2d(J_1V +J_2 V_2). \] Die Arbeit der etwaigen äussern mechanischen Kräfte sei \(dA_1\), die Aenderung der kinetischen Energie \(dT\); die Arbeit der elektromotorischen Kräfte \(E_1, E_2\) ist \[ dA_1'=(E_1J_1+E_2J_2)dt, \] die Aenderung des Wärmeinhalts \[ dU = (R_1J_1^2+R^2J_2^2)dt. \] Dadurch geht die Gleichung (1) über in \[ (4)\quad \begin{cases} 0=-\,\frac{dA_1}{dt} + \,\frac{dT}{dt} - J_1J_2\,\frac{dV}{dt} \\ +J_1\left[ \,\frac{d}{dt} (J_2V+J_1V_1) + R_1J_1-E_1 \right] \\ +J_2\left[ \,\frac{d}{dt} (J_1V+J_2V_2) + R_2J_2-E_2 \right]\cdot \end{cases} \] Ist das Potential der zwei Stromkreise auf einander \[ P=\iint \,\frac 1r \cos (ds_1,ds_2) ds_1ds_2, \] so ist erfahrungsmässig die Arbeit der ponderomotorischen Kräfte \(=J_1 J_2 dP\), mithin \[ (5)\quad \,\frac{dA_1}{dt} + J_1J_2\,\frac{dP}{dt}=\,\frac{dT}{dt}; \] setzen wir also hypothetisch \[ (6)\quad V=P, \] wodurch dann auch \(V_1\) und \(V_2\) gleich den mit \(P\) analogen Selbstpotentialen \(P_1\) und \(P_2\) werden, so löst sich die Gleichung (4) auf in die Gleichung (5) und in \[ (7)\quad \begin{cases} J_1\left[ \,\frac{d}{dt} (J_2P+J_1P_1) + R_1J_1-E_1 \right] \\ +J_2\left[ \,\frac{d}{dt} (J_1P+J_2P_2) + R_2J_2-E_2 \right]=0.\end{cases} \] Da das zweite Glied auf der linken Seite dieser Gleichung durch Verkleinerung von \(J_2\) beliebig klein gemacht werden kann, während das erste davon unabhängig ist, so muss jedes für sich = 0 sein, also \[ (7^{\text{a}})\quad R_1J_1=E_1-\,\frac{d}{dt} (J_2P+J_1P_1), \] \[ (7^{\text{b}})\quad R_2J_2=E_2-\,\frac{d}{dt} (J_1P+J_2P_2), \] welche Gleichungen das Inductionsgesetz aussprechen. An Stelle der Gleichungen (4) und (5) stellt Helmholtz (``die Erhaltung der Kraft'') die Gleichungen auf \[ 0=\,\frac{dT}{dt} + J_1(R_1J_1-E_1) + J_2(R_2J_2-E_2),\quad \,\frac{dT}{dt} = J_1J_2\,\frac{dP}{dt}; \] er vernachlässigt also die elektrodynamische Arbeit \(-dW\), und erhält daraus die der Gleichung \((7^{\text{b}})\) entsprechende Gleichung \[ R_2J_2=E_2-J_1\,\frac{dP}{dt} \] nur dadurch, dass er \(J_2\) als so klein annimmt, dass die Induction auf den ersten Stromkreis vernachlässigt, also \(R_1J_1-E_1 = 0\) gesetzt werden kann, wobei dann aber, wie die vollständige Gleichung (4) zeigt, das Glied \(J_1J_2\,\frac{dP}{dt}\) das eine Mal vernachlässigt, das andere Mal beibehalten sein würde. Ein ähnlicher Fehler findet sich bei Wiedemann. In analoger Weise wendet der Verfasser das Princip der Energie auf das System eines Stroms und eines Magneten an.