Die wahrscheinlichste geographische Ortsbestimmung aus beliebig vielen Höhen. (Q1543062)

(Siehe auch JFM 17.1140.01) Jede Gestirnshöhe ergiebt als ihren geometrischen Ort einen Kreis, der um den beobachteten Stern als Mittelpunkt mit der Zenitdistanz als sphärischem Radius auf dem Globus beschrieben wird. Auf der Mercator-Karte geht dieser Kreis in eine Curve anderer Art über, von der sich kleinere Bogen ohne allzu grossen Fehler durch die ihre Endpunkte verbindende Sehne ersetzen lassen. Solche Geraden heissen ``Höhenlinien'' oder ``Sumner'sche Linien'', und es müssten sich bei absolut fehlerfreier Beobachtung sämtliche Höhenlinien in einem Punkte durchschneiden, dem Beobachtungsorte. Thatsächlich nun giebt es immer eine ganze Anzahl solcher Schnittpunkte, und es ist der wahrscheinlichste unter ihnen mit Hülfe der Methode der kleinsten Quadrate oder auch auf constructivem Wege zu ermitteln. Speciell für den Fall dreier Höhenlinien hat man in einem ebenen Dreiecke jenen Punkt zu suchen, für welchen, wenn \( x,y,z \) seine Abstände von den drei Seiten vorstellen, die Relation \[ x^2 + y^2 + z^2 = \text{Minimum} \] besteht. Für diesen Punkt, den Grebe (weit später Lemoine) unter die ``merkwürdigen Punkte'' des Dreiecks eingereiht hat, besitzt man aber eine sehr einfache Construction. Herr Weyer verbreitet sich zunächst über die Geschichte des vorliegenden Problems, zu welchem ihm zufolge der amerikanische Capitän Sumner die erste Anregung gegeben hat, und erörtert dann eingehend den allgemeinen Fall der \( n \) Höhenlinien. Er erneuert den älteren Vorschlag von Preuss, zur bequemen Ausführung Seekarten in stereographischer Projection anfertigen zu lassen, löst aber zugleich selbst durch eine geschickte Verbindung von Rechnung und Zeichnung die Aufgabe, bei \( \frac 12 n \; (n - 1) \) gegebenen Schnittpunkten den dem Schiffsorte möglichst zunächst liegenden Punkt auszumitteln.