Arithmetische Untersuchungen über Discriminanten und ihre ausserwesentlichen Teiler. (Q1543250)

Für die Gattung \((g)\), welche durch die Wurzel \(x_1\) einer irreductiblen, ganzzahligen, algebraischen Gleichung \(f(x)=0\) bestimmt wird, besteht ein Fundamentalsystem, d. h. eine Reihe von Grössen, durch die sich jede zur Gattung gehörige Grösse linear darstellen lässt. Die zu diesen letzteren gehörigen Discriminanten haben sämtlich eine gewisse Potenz der Discriminante von \(f(x)\) als ``wesentlichen'' Teiler. Giebt man aber den Coefficienten der Elemente des Fundamentalsystems nur ganzzahlige Werte, dann kann es vorkommen, dass die übrigen Factoren der Discriminante, welche nach Herrn Kronecker ``ausserwesentlich'' genannt werden, gleichfalls noch gemeinsame Teiler enthalten, wie die Herren Dedekind und Kronecker an Beispielen gefunden haben. Der Herr Verfasser beschäftigt sich nun mit der Frage, wann eine Primzahl als Factor des ausserwesentlichen Teilers bei allen Discriminanten einer Gattung auftritt. In der Einleitung der Arbeit wird eine Uebersicht über die von ihm erlangten allgemeinen Resultate gegeben, von denen nur der die Kreisteilungsgleichungen behandelnde Abschnitt in ausführlicher Darstellung vorgelegt wird. Zunächst werden die auf die Primzahlen 2 und 3 bezüglichen Untersuchungen durch die Kummer'sche Darstellung der Periodenteilungsgleichungen vollkommen erledigt. Durch eine einfachen Determinantensatz kann dann das folgende allgemeine Resultat abgeleitet werden: ``Ist \(\nu=\lambda\mu+1\) eine Primzahl und \(q\) eine andere, welche den Bedingungen \(q^{k\mu}\equiv1(\mod.\nu),q^k<\lambda\) genügt, so ist \(q\) wesentlicher Teiler aller Gleichungsdescriminanten der durch die \(\mu\)-gliedrigen Perioden der \(\nu^{\text{ten}}\) Wurzeln der Einheit constituirten Gattung.'' Die Frade nach den notwendigen Bedingungen führte den Herrn Verfasser auf tiefer liegende Untersuchungen, die in der Einleitung nur kurz skizzirt sind. Bei Galois'schen Gattungen wird die Frage nach den notwendigen und hinreichenden Bedingungen zu einfacher Lösung geführt; etwas verwickelter gestalten sich die Verhältnisse bei beliebigen Gattungen.