On some points in the theory of numerical equations. (Q1543265)

1) Für die Untersuchung der numerischen Gleichung \[ f(x)\equiv a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_{n-1}x+a_n=0 \] ist von besonderer Wichtigkeit das Polynom von demselben Grade: \[ \begin{aligned} \psi(x)& \equiv P_0x^n+P_1x^{n-1}+\cdots+P_{n-1}x+P_n\\ & =\frac{x^{n+1}f(\eta)-f(x\eta)}{x-1}+\xi\frac{f(x\eta)-f(\xi)}{x\eta-\xi}. \end{aligned} \] Seine Coefficienten berechnet man am einfachsten, indem man zunächst nach einander die Zahlen \[ Q_0=a_0,\quad Q_1=\xi Q_0+a_1,\quad Q_2\xi Q_1+a_2,\dots, Q_n=\xi Q_{n-1}+a_n \] bildet: dann ist \[ P_n=Q_n,P_{n-1}=P_n(\eta-\xi)Q_{n-1}, P_{n-2}=P_{n-1}+\eta(\eta-\xi) Q_{n-2},\dots \] \[ \dots, P_0=P_1+\eta^{n-1}(\eta-\xi)Q_0. \] Die Haupteigenschaft der Function \(\psi(x)\) ist nun folgende: \((\alpha)\) Ist \(\eta>\xi\geqq0\), so ist die Zahl der Wurzeln der Gleichung \(f(x)=0\), die zwischen \(\xi\) und \(\eta\) liegen, höchstens gleich der Zahl der Zeichenwechsel von \(\psi(x)\); und wenn diese beiden Zahlen verschieden sind, so ist ihre Differenz eine gerade Zahl. 2) Behufs Eingrenzung der Wurzeln einer Gleichung ist es oft nützlich, Grenzen zu bestimmen, innerhalb deren die Werte eines Polynoms enthalten bleiben, während die Variable alle möglichen Werte eines gewissen Intervalls annimmt. Cauchy hat eine einfache Lösung dieser Aufgabe gegeben; präciser ist die folgende: Ist \(\eta>\xi>0\) und ist \(R\) die grösste und \(S\) die kleinste der Zahlen \(P_0,P_1,\dots, P_n\), so bleibt der Wert von \(f(x)\) zwischen \(R\) und \(S\), während \(x\) von \(\xi\) bis \(\eta\) wächst. Nach dieser Regel ergiebt sich z. B., dass \[ f(x)=x^5-2x^4+x^3-3x^2+4x-2 \] für \(0\leqq x\leqq1\) zwischen \(-2\) u. \(+2\), nach Cauchy zwischen \(-7\) u. \(+6\); für \(1\leqq x\leqq2\) zwischen \(-14\) u. \(+2\), nach Cauchy zwischen \(-40\) u. \(+41\); für \(2\leqq x\leqq3\) zwischen \(+1\) u. \(+96\), nach Cauchy zwischen \(-143\) u. \(+236\) liegt. Dieselbe Aufgabe löst der Verfasser für eine gebrochene Function \(\frac{\varphi(x)}{f(x)}\) in dem Falle, dass die Zahlen \(P_0,P_1,\dots, P_n\), welche zu dem Nenner \(f(x)\) gehören, dasselbe Vorzeichen besitzen. 3) Eine obere Grenze der Anzahl der in einem gegebenen Intervalle gelegenen Wurzeln einer Gleichung wird oft genauer durch folgenden Satz geliefert: Ist \(\eta>\xi\geqq0\) und bildet man die Tabelle: \[ \begin{aligned} \\ P_0,P_1,P_2,\dots, P_{n-2},P_{n-1},P_n\\ +1,P_1^2-P_0P_2, P_2^2-P_1P_3,\dots, P_{n-2}^2-P_{n-3}P_{n-1},P^2_{n-1}-P_{n-2}P_n,+1,\end{aligned} \] so ist die Anzahl der Wurzeln der Gleichung \(f(x)=0\) zwischen \(\xi\) und \(\eta\) höchstens gleich der Anzahl derjenigen Zeichenwechsel in der oberen Zeile, denen Zeichenfolgen in der unteren Zeile entsprechen. 4) Hebt man die Beschränkung, dass \(\eta>\xi\geqq0\), ist, auf, bedeuten also \(\xi,\eta\) ganz beliebige positive Zahlen, so hat \(\psi(x)\) folgende Eigenschaft: Die Gleichung \(\psi(x)=0\) hat wenigstens soviel Zeichenwechsel, als die Gleichung \(f(x)=0\) reelle Wurzeln \(\lambda\) hat, welche den Ungleichheiten genügen: \[ \lambda\eta>0,\eta(\eta-\lambda)>0,\lambda(\lambda-\xi)>0; \] und die Gleichung \(\psi(-x)=0\) hat wenigstens so viel Zeichenwechsel, als die Gleichung \(f(x)=0\) reelle Wurzeln \(\lambda\) hat, welche \[ \lambda\eta<0,\quad \eta(\eta-\lambda)>0,\quad \lambda(\lambda-\xi)>0 \] machen. Hieraus ergiebt sich durch Specialisirung von neuem der Satz \((\alpha)\); ferner: Sind \(\xi\) und \(\eta\) beliebige positive Zahlen, so ist die Anzahl der negativen Wurzeln der Gleichung \(f(x)=0\) höchstens gleich der Anzahl der Zeichenwechsel von \(\psi(-x)\). Für den Fall \(\eta>\xi>0\) folgt noch: Haben die Zahlen \(f(\xi)\) und \(f(\eta)\) gleiches Vorzeichen, so hat die Gleichung \(f(x)=0\) keine Wurzel zwischen \(\xi\) und \(\eta\), wenn die Gleichung \(\psi(x)=0\) keine Wurzel zwischen 0 und 1 hat (was in vielen Fällen leicht zu erkennen ist, cf. Resal J. (3) IX. p. 116 und F. d. M. XV. 1883. p. 63; JFM 15.0063.02). In dem fünften Abschnitt werden Vereinfachungen hergeleitet, welche in \((\alpha)\) eintreten, wenn \(f(x)\) Lücken besitzt, und es wird sodann dieser Satz auf den Fall ausgedehnt, dass \[ f(x)=A+Bx^\beta+Cx^\gamma+\cdots \] oder \[ =Ae^{\alpha x}+Be^{\beta x}+\cdots \] ist, wo \(\alpha,\beta,\gamma,\dots\) irgend welche positiven oder negativen Zahlen bedeuten. Die Betrachtungen des letzten (sechsten) Abschnitts sind von den vorhergehenden wesentlich verschieden und beziehen sich auf die schwierige Frage, welchen Bedingungen die Grössen \(\alpha_0,\alpha_1,\dots,\alpha_n\) zu genügen haben, damit die Gleichung \[ \alpha_0a_0+\alpha_1a_1x+\alpha_2a_2x^2+\cdots+\alpha_na_nx^n=0 \] nur reelle Wurzeln besitze, falls dies für die Gleichung \[ a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n=0 \] der Fall ist. Ohne diese Frage erschöpfend beantworten zu wollen, findet der Verfasser als eine hinreichende Bedingung von sehr allgemeiner Natur, dass \[ \alpha_0=\varTheta(0),\quad \alpha_1\frac{\varTheta(1)}{H(0)}q,\quad \alpha_2= \frac{\varTheta(2)}{H(0)H(1)}q^4,\dots \] \[ \dots,\alpha_n=\frac{\varTheta(n)}{H(0)H(1)\dots H(n-1)}\,q^{n^2} \] sei, wo \(q\) einen beliebigen positiven echten Bruch und \(H(x),\varTheta(x)\) zwei beliebige ganze Functionen bedeuten, deren Elemente ganze Polynome, Exponentialgrössen von der Form \(e^{kx}\), ganze Functionen vom Geschlechte Null oder Eins sind. Hieran schliesst sich der Nachweis, dass die Bessel'sche Transcendente \[ 1+\frac x{1^2}+\frac{x^2}{(1\cdot2)^2}+\frac{x^3}{(1\cdot2\cdot3)^2}+\cdots \] eine Function vom Geschlechte Null ist. Ausserdem wird noch der Satz gegeben: Sind die Wurzeln der Gleichung \[ a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n=0 \] sämtlich reell und von demselben Vorzeichen, so besitzt auch die Gleichung \[ \begin{aligned} \\ a_0\cos\lambda+a_1\cos(\lambda+\theta)x+a_2\cos(\lambda+2\theta)x^2 +a_3\cos(\lambda+3\theta)x^3+\cdots\\ \cdots+a_n\cos(\lambda+n\theta)x^n=0,\end{aligned} \] wo \(\lambda,\theta\) zwei beliebige Winkel bedeuten, lauter reelle Wurzeln.