Sur l'approximation des racines des équations algébriques. (Q1543267)

Es sei \(f(x)=0\) eine algebraische Gleichung mit reellen Coefficienten, \(\lambda\) eine reelle willkürliche Zahl und \[ f(x)=(x-\lambda)F(x)+f(\lambda). \] Bedeutet dann \(x\) eine Wurzel von \(f(x)=0\), so ist \[ x=\lambda-\frac{f(\lambda)}{F(x)}. \] Nimmt man jetzt eine positive Grösse \(\alpha_0\) und bildet die Reihe \(\alpha_0,\alpha_1,\alpha_2,\dots\) nach dem recurrenten Verfahren \[ \alpha_{k+1}=\lambda-\frac{f(\lambda)}{F(\alpha_k)}, \] so ist \(x=\lim\alpha_n\) die Wurzel, welche unmittelbar grösser als \(\alpha_0\) isr, wenn \(f(\alpha_0)<0\); wenn dagegen \(f(\alpha_0)>0\) ist, dann wird \(x=\lim\alpha_n\) auf die unmitttelbar kleinere Wurzel, von \(\alpha_0\) aus gerechnet, führen, falls eine solche vorhanden ist; giebt es keine derartige Wurzel, so kommt in der Reihe der \(\alpha\) ein negatives Glied vor. \(\lambda\) bedeutet eine positive Zahl, welche für \[ f(x)=x^n+a_1x^{n-1}+a_2x^{n-2}+\cdots+a_n \] den Gliedern der Reihe \[ f_0=1,f_1=f_0\cdot\lambda+a_1,f_2=f_1\cdot\lambda+a_2,\dots \] positive Werte erteilt. Hieraus folgt, dass für ein solches \(\lambda\) die Differenz \[ \lambda-\frac{f(\lambda)}{f'(\lambda)} \] eine obere Grenze für die Wurzeln von \(f(x)=0\) liefert.