Sur les valeurs que prend un polynôme entier lorsque la variable varie entre des limites déterminées. (Q1543276)

Die gegebene Regel lässt sich am Beispiele der Gleichungen dritten Grades erkennen. Sind \(\xi\) und \(\eta>\xi\) die gegebenen Grenzen der Variabeln und ist \[ f(x)=a_0x^3+a_1x^2+a_2x+a_3 \] das Polynom, so bildet man die vier Ausdrücke \[ \begin{aligned} & a_0\xi^3+a_1\xi^2+a_2\xi+a_3=f_0,\quad a_0\xi^2\eta+a_1\xi\eta+a_1\eta+ a_3=f_1\\ & a_0\xi\eta^2+a_1\eta^2+a_2\eta+a_3=f_2,\quad a_0\eta^3+a_1 \eta^2+a_2\eta+a_3=f_3; \end{aligned} \] dann bleibt der Wert von \(f(x)\) stets zwischen dem grössten und dem kleinsten jener vier constanten Werte \(f_0,\dots, f_3\), wenn \(x\) zwischen \(\xi\) und \(\eta\) liegt, und die Anzahl der Wurzeln von \(f(x)=0\), welche innerhalb jener beiden Grenzen sich finden, ist höchstens gleich der Anzahl der Zeichenwechsel in \(f_0,f_1,f_2,f_3\).