Zum Invariantenbegriff. (Q1543312)

Strenger Beweis des Corollars zum Fundamentalsatze der Invariantentheorie: ``Geht eine ganze Function mit den Coefficienten \(A\) vermöge einer linearen Transformation der Variabeln über in eine andere ganze Function mit den Coefficienten \(B\), und ist \(\frac{R(B)}{R(A)}\) (wo \(R\) eine rationale Function der bezeichneten Coefficienten bedeutet) nur von den Coefficienten der Transformation abhängig, d. h. ist \(R(A)\) eine Invariante der vorgelegten Function, so kann jener Quotient nur eine Potenz der Transformationsdeterminante sein.'' Dazu dient der Hülfssatz: ``Sind die ganzen rationalen Functionen \(F(x_1,x_2,\dots,x_m)\), \(G(x_1,x_2,\dots,x_m)\) so beschaffen, dass für alle (reellen oder complexen) Wertsysteme \(x_1,x_2,x_m\), wofür \(G=0\) ist, auch die Gleichung \(F=0\) gilt, und ist \(G\) irreductibel, so ist \(G\) ein Teiler von \(F\).'' Da dieser Beweis nur auf bekannten Eigenschaften der Factorenzerlegung ganzer Functionen beruht, so gelangt man bei Hinzuziehung der Definition der Invariante unmittelbar zu den beiden Sätzen: 1) In der reducirten Form ist bei jeder gebrochenen Invariante sowohl der Zähler als auch der Nenner selbst eine Invariante. 2) Jeder Factor einer Invariante ist selbst eine Invariante. Die Sätze gelten auch für Covarianten etc.