Gauss' third proof of the quadratic reciprocity law, in a simplified presentation. (Q1543460)

Die zuerst angeführte Abhandlung (JFM 16.0156.02) ist als Fortsetzung der in den Monatsberichten von 1876 veröffentlichten anzusehen. Versteht man unter ``sgn.\,\(a\)'' das Vorzeichen der reellen Grösse \(a\), so wurde dort für das Legendre'sche Zeichen \(\left(\frac nm \right)\) unter der Voraussetzung, dass \(m\) eine Primzahl sei, der Ausdruck gefunden \[ ({\mathfrak D}')\quad \left(\frac mn\right)= \text{sgn.}\prod_{h,k}\left(\frac hm-\frac kn\right)\quad\left(\begin{matrix} h= 1,2,\ldots ,\frac 12(m-1) \\ k= 1,2,\ldots, \frac 12(n-1)\end{matrix}\right) , \] während hier die Gleichung \[ ({\mathfrak D})\quad\left(\frac nm\right)= \text{sgn.}\prod_{h,k}\left(\frac hm-\frac kn\right)\left(\frac hm+\frac kn-\frac 12\right) \] aufgestellt wird. Bezeichnet man den Ueberschuss der Zahl \(a\) über die zunächst liegende ganze Zahl mit \(R(a)\), so folgt (\({\mathfrak D}\)) aus der bemerkenswerten Bestimmung \[ (\overline{\mathfrak A})\quad\text{sgn.}\,R(n\alpha )= \text{sgn.}\,\prod_k\left(\alpha -\frac kn\right)\left(\alpha +\frac kn-\frac 12\right); \] \[ (0<\alpha <\frac 12). \] Der vermittels (\({\mathfrak D}\)) gegebene Beweis des quadratischen Reciprocitätsgesetzes ist der einfachste bisher gegebene; er gehört in die Kategorie des dritten und fünfen Gauss'schen. (Dieser Beweis ist in dem Journal abgedruckt, JFM 16.0156.03). Nachdem dann die eine der beiden Bestimmungen von \(\left( \frac mn \right)\) aus der anderen abgeleitet ist, wird der Vorzug von (\({\mathfrak D}\)) dadurch nachgewiesen, dass man, ohne aus dem engeren Bereiche der quadratischen Reste zu treten, die Uebereinstimmung des durch (\({\mathfrak D}\)) definirten Symbols mit dem Legendre'schen Zeichen nachweisen kann. Den Schluss der Arbeit bildet die Mitteilung einer Methode zur Bestimmung des Legendre-Jacobi'schen Zeichens \(\left(\frac{-n_1}{n_0} \right)\) für zwei positive oder negative, ungerade, teilerfremde Zahlen \(n_0,n_1\), für welche \(|n_0|>|n_1|\) ist. Die Sätze stützen sich auf die Behandlung der Kettenbruch-Entwickelung von \(\frac{-n_1}{n_0}\) mittels \[ n_0-2r_1n_1+n_2= 0,\quad n_1-2r_2n_2+n_3= 0,\ldots ,n_{t-2}-2r_{t-1}n_{t-1}+n_t= 0, \] wobei \(n_t= \pm 1\) wird. Ist \[ n_k\eta_k\equiv 1 (\text{mod.\,}4),\quad \nu_k= \text{sgn.\,}n_k, \] so findet sich \[ \begin{aligned} \left(\frac{-n_1}{n_0}\right) & = (-1)^{\frac 14{\mathfrak G}}, \\ {\mathfrak G}= \sum_k(\eta_{k-1}\eta_k-\nu_{k-1}\nu_k)& \equiv\sum_k(n_{k-1}n_k-\nu_{k-1}\nu_k)\;(\text{mod.}8); \\ (k&= 0,1,2,\ldots ,t) \end{aligned} \] und man erhält beispielsweise den Satz: Ist \(\varphi\) die Anzahl der Folgen, \(\psi\) die der Wechsel in der Vorzeichenreihe von \[ 1,\;n_0,\;n_1,\ldots ,n_t; \] ferner \(\varphi'\) die der Folgen, \(\psi'\) die der Wechsel in der Reihe der mod.\,4 genommenen Zeichenwerte der Reihe, so ist \[ \left(\frac{-n_1}{n_0}\right)= (-1)^{\frac 12(\varphi -\varphi')}= (-1)^{\frac 12(\psi -\psi')}. \] In der dritten Abhandlung (JFM 16.0156.04) wird eine Vereinfachung des dritten Gauss'schen Beweises durch die Formeln \[ \begin{aligned} \text{sgn.\,}R(a)= (-1)^{[2a]} & = (-1)^{[n-2a]},\quad (n\text{ ungerade}) \\ \text{sgn.\,}R(n\alpha_0) & = (-1)^{[n\alpha ]}, \\ & = \text{sgn.\,}\prod^{\frac{n-1}{2}}_{k=1}\left( \frac kn-\alpha \right) \end{aligned} \] \[ (0<\alpha_0<\frac 12,\quad 0<\alpha <\frac 12;\quad \alpha = 2\alpha_0\;\text{oder}\;\alpha= 1-2\alpha_0) \] herbeigeführt; zugleich wird dadurch die naturgemässe Herleitung des durch (\({\mathfrak D}'\)) ausgedrückten Legendre'schen Zeichens gegeben. Die letzte Arbeit enthält den in der eben besprochenen Abhandlung enthaltenen Beweis des Reciprocitätsgesetzes, der sich ebenfalls höchst einfach gestaltet.