On a generalisation of continued fractions (Q1543471)

Wenn man im Sinne der modernen operativen Arithmetik die Ebene mit dem ganzzahligen Gitter überdeckt, so kann die Aufgabe, die Näherungswerte eines dem irreduciblen Werte \(\alpha\) gleichen Kettenbruchs zu bestimmen, auch dahin präcisirt werden: Man finde alle Gitterpunkte, welche zunächst an der durch die Gleichung \(y= \alpha x\) gekennzeichneten geraden Linie liegen. Es lässt sich zeigen, dass die zusammenstossenden Seiten einer Reihe von Gitterparallelogrammen den Näherungswerten entsprechen. Steigt man zur dritten Dimension auf und construirt ein Bravais'sche Raumgitter, so giebt es eine einfach unendliche Reihe von Parallelepipeden, welche gegenüber der Geraden mit den Gleichungen \(y= \alpha x\), \(z= \beta x\) sich analog verhalten; man kann eine Reihe von stets kleiner werdenden Triedern bestimmen, die sämmtlich jene Gerade in sich enthalten. Es wird angedeutet, wie der Annäherungsprocess allgemein in analytische Form gekleidet werden kann.