On certain sums of products of quantities depending upon the divisors of a number. (Q1543560)

Die Abhandlung betrifft die Werte eines Systems von Ausdrücken folgender Formen: \[ f(1)f(n-1)+f(2)f(n-2)+f(3)f(n-3)+\cdots+f(n-1)f(1) \] und \[ f(1)F(n-1)+f(2)F(n-2)+f(3)F(n-3)+\cdots+f(n-1)F(1), \] wo \(f(n)\) und \(F(n)\) irgend zwei von den folgenden sieben Grösse sind, die von den Divisoren von \(n\) abhängen: \(\sigma(n)\) = Summe der Divisoren von \(n\); \(\Delta(n)\) = Summe der ungeraden Divisoren von \(n\); \(D(n)\)= Summe der geraden Divisoren von \(n\); \(\Delta'(n)\) = Summe der Divisoren, deren conjugirte ungerade sind; \(D'(n)\) = Summe der Divisoren, deren conjugirte gerade sind; \(\zeta(n)= \Delta(n)-D(n)\); \(\zeta'(n)= \Delta'(n)-D'(n)\); Natürlich ist \[ \sigma(n)= \varDelta(n)+D(n)= \varDelta'(n)+D'(n). \] Es bedeutet \(\sum fF\) die Summe der Producte \(\sum f(r)F(n-r)\) für \(r= 1, 2,\dots,n\) (so dass \(\sum fF= \sum Ff\)). Die Werte der 21 Product-Summen die man erhält, indem man \(f\) und \(F\) durch \(\sigma, \varDelta, D, \varDelta', D', \zeta, \zeta'\) ersetzt, werden in Gliedern mit \(\sigma_3(n), D_3'(n), \sigma(n), D'(n)\) ausgedrückt, wo \(\sigma_3(n)\) die Summe der Kuben der Divisoren von \(n\) bedeutet, \(D_3'(n)\) eine analoge Bedeutung hat. Als Beispiele wollen wir anführen: \[ \begin{aligned} 24\textstyle\sum \sigma \sigma & = 10\sigma_3(n)-12n\sigma(n)+2\sigma(n),\\ 24\textstyle\sum \varDelta \varDelta & = 2 \sigma_3(n)+8D_3'(n)-2 \sigma(n)+4D'(n),\\ 24 \textstyle\sum DD & = 40D_3'(n)-24nD'(n)+8D'(n),\\ 24 \textstyle\sum \varDelta' \varDelta' & = 6 \sigma_3(n)-6D_3'(n)-6n\sigma(n)+6nD'(n),\\ 24 \textstyle\sum D'D' & = 10D_3'(n)-6nD'(n)+2D'(n),\\ 24 \textstyle\sum \zeta \zeta & = -6 \sigma_3(n)+96D_3'(n)+12n \sigma(n)-6 \sigma(n)-48nD'(n)+24D'(n),\\ 24 \textstyle\sum \sigma \varDelta & = 6 \sigma_3(n)-16D_3'(n)-6n \sigma(n)+12nD'(n)-2D'(n),\\ \hdotsfor2\end{aligned} \] Nur in einem Falle ist der Ausdruck für die Producten-Summe unabhängig von den Grössen, welche die Kuben der Divisoren einschliessen; man hat nämlich: \[ 24 \textstyle\sum \varDelta' \zeta= 3n \sigma(n)-3 \sigma(n)+6nD'(n)+3D'(n). \] Die Werte der Ausdrücke können in Termen aus irgend zweien der Functionen \(\sigma, \varDelta, \dots\) ausgedrückt werden; aber \(\sigma\) und \(D'\) erweisen sich als die beiden geeignetsten. Ist \(n\) ungerade, so verschwinden die mit \(D_3'\) und \(D'\) behafteten Terme und die Ausdrücke werden viel einfacher. Ein Abschnitt der Arbeit ist der Betrachtung der Werte und gegenseitigen Beziehungen für die allgemeinen Grössen \(\sigma_s(n), \varDelta_s(n), D_s(n), \dots\) gewidmet, wo \(\sigma_s(n)\) die Summe der \(s^{\text{ten}}\) Potenzen der Divisoren von \(n\) bezeichnet.