A general law in the theory of division of integers. (Q1543611)

Wenn man \[ (\varphi(1)x^{\psi(1)}+\varphi(2)x^{\psi(2)}+\varphi(3)x^{\psi(3)}+ \cdots)^{\mu} \] in eine Reihe \[ Q_1x+Q_2x^2+\cdots +Q_nx^n+\cdots \] entwickelt, so ist \(Q_n\) gleich der Summe der Producte \[ \varphi(x_1) \cdot \varphi(x_2) \cdot \dots \cdot \varphi(x_{\mu}), \] genommen für alle Systeme \(x_1, x_2, \dots ,x_{\mu}\) welche der unbestimmten Gleichung \[ \psi(x_1)+\psi(x_2)+\cdots +\psi(x_{\mu})= n \] genügen. Die logarithmische Differentiation der Identität \[ (\varphi(1)x^{\psi(1)}+\varphi(2)x^{\psi(2)}+\cdots)^{\mu}= Q_1x+Q_2x^2+\cdots \] giebt das allgemeine Gesetz \[ \text{(I)} \quad \sum_{u=1}^{u=\varrho} (n=(\mu+1)\psi(u))\varphi(u)Q_{n-\psi(u)}= 0, \] wo \(\varrho\) den Ungleichheiten \(\psi(\varrho) \leqq n\), \((\psi(\varrho+1)>n\) genügt. Aus diesem allgemeinen Gesetze kann man sehr viele specielle Gesetze ableiten, deren Entwickelung die Abhandlung gewidmet ist. So z. B. wenn man \(\psi(u) = u,\mu = 1\) setzt, so hat man \(Q_n= \varphi(n)\) und das Gesetz (I) nimmt die Form \[ \text{(II)} \quad \sum^{u=n-1}_{u=1} (n-2u)\varphi(u) \cdot \varphi(n-u)= 0 \] an. Wenn man \(\varphi(u)\) noch specialisirt, giebt diese Formel specielle Zahlengesetze für quadratische, kubische und höhere Reste und kann auch zur Transformation einiger Zahlengesetze, die aus der Theorie der elliptischen Functionen fliessen, angewand werden.