The smallest residues of real variables. (Q1543628)

Die Abhandlung ist als Abschluss der Untersuchungen anzusehen, die Herr Kronecker 1876 und 1884 über das quadratische Reciprocitätsgesetz veröffentlicht hat; sie giebt eine neue und vollständige Einsicht in die gegenseitigen Beziehungen der verschiedenen auf dem Gauss'schen Lemma fussenden Reciprocitätsbeweise durch die Zurückführung derselben auf die verschiedenen Fundamental-Eigenschaften der Reste reeller Grössen Dieselben drücken sich in den folgenden Gleichungen aus: \[ ({\mathfrak C})\quad \text{sgn.R}(a)= \text{sgn.}\prod_g (\tfrac 12\, g-a); \quad (g=1,2,3,\dots) \] \[ ({\mathfrak D})\quad \text{R}(a)= \text{R} (a+1),\quad \text{R}(a)+ \text{R}(-a)= 0; \] \[ ({\mathfrak E})\quad \text{R}(a)+\text{R}(b)+\text{R}(c)= \left[\textstyle\frac 12+\frac 13 \text{sgn.R} (a)+ \frac 13\text{sgn.R}(b)+\frac 13\text{sgn.R}(c)\right]; \] \[ ({\mathfrak F})\quad m\text{R} \left(\frac {hn}{m} \right)+n\text{R}\, \left(\frac{km}{n} \right)= 0, \] (wobei hinsichtlich der Bezeichnungen auf F. d. M. XVI. 1884. 156 (JFM 16.0156.05) verwiesen werden muss). Der formal einfachste Beweis des Reciprocitätsgesetzes stützt sich nur auf (\({\mathfrak C}\)); denselben hat Herr Kronecker, etwas modificirt, schon gegeben (F. d. M. XVI. 1884. 156, JFM 16.0156.05) er ist eine Vereinfachung des dritten Gauss'schen Beweises. Der sachlich einfachste Beweis ist der vereinfachte fünfte Gauss'sche, der nur die Beziehung (\({\mathfrak D}\)) benutzt. Endlich der Zeller'sche Beweis benutzt (\({\mathfrak E}\)) und (\({\mathfrak F}\)), indem er die Reste selbst in gewisser Weise einander zuordnet. Erwähnt werden möge noch die bemerkenswerte Gleichung \[ \sum_h\;\text{sgn.R} \left(\frac{hn}{m} \right)= \frac 1m\;\sum_h\;\text{tg}\;\frac{h\pi}{m}\;\text{tg} \;\frac{hn\pi}{m} \] \[ \left( h= 1,2,\dots, \frac{m-1}{2} \right). \] Im Schlussparagraphen wird eine Function zweier positiver oder negativer, ungerader, teilerfemder Zahlen \(m\), \(n\) definirt durch \[ \theta (m,n)= \theta (m+2n,n) \] \[ \theta(m,n)= \theta (-n,m)(-1)^{\frac 14 (m-1)(n+1)- \frac 14 (\text{sgn.} m-1)(\text{sgn.}n+1).} \] Wenn es gelingt, den Multiplicationssatz \[ \theta(l,n) \cdot \theta(m,n)= \theta(lm,n) \theta(1,1) \] aus den Definitionsgleichungen abzuleiten so würde dies die Uebereinstimmung von \(\theta\) mit dem Legendre-Jacobi'schen Zeichen geben, und so einen Beweis des Reciprocitätsgesetzes liefern.