On the relations amongst class numbers of binary quadratic forms of negative determinant. (Q1543642)

Die bekannten Kronecker'schen Klassenanzahlrelationen sind aus der Theorie der Modulargleichungen der elliptischen Functionen abgeleitet worden. Durch Anwendung eines ähnlichen Gedankenganges auf die von Herrn Klein begründete Theorie der Modularcorrespondenzen hatte Herr Gierster neue Klassenanzahlrelationen (zum Teil ohne Beweis) gewonnen. Diese Relationen werden hier (zunächst für die einfachsten Fälle) mit Hülfe einer ausreichenden analytischen Darstellung der zugehörigen Transformationsgleichungen unter Zugrundelegung eines einfachen und durchsichtigen Princips abgeleitet, demzufolge die linke und rechte Seite der betr. Klassenanzahlrelation identisch ausfallen mit der Anzahl der Null- resp. Unendlichkeitsstellen einer gewissen, auf der zur bez. Modularcorrespondenz gehörigen Riemann'schen Fläche überall eindeutigen Function. Die Arbeit zerfällt in zwei Teile. Der erste, vorbereitende, recapitulirt das (bereits früher vom Verfasser eingeschlagene) Verfahren zur Gewinnung der Klassenanzahlrelation erster Stufe. In diesem Falle handelt es sich um eindeutige Functionen eines complexen Argumentes \(\omega\), die sich für äquivalente Werte von \(\omega\) d. h. bei ganzzahligen Substitutionen \(S(\omega)\) von der Determinante Eins reproduciren. Man deute \(\omega\) in der \((x+iy)\)-Ebene. Dann ist derjenige Teil der positiven Halbebene, der durch die Geraden \(x= \pm \frac 12\) und den Halbkreis \(x^2+y^2= 1\) begrenzt wird d. i. ein krummliniges Dreieck, das Fundamentaldreieck, mit den Ecken \[ \omega= i \infty,\;= e^{\frac{2i \pi}{3}},\;= 1+e^{\frac {2i \pi}{3}} \] ausgefüllt durch ein vollständiges System nicht äquivalenter Grössen \(\omega\) (wofern man die auf Seiten der positiven \(X\)-Axe liegende Begrenzung des Dreiecks nicht mithinzurechnet). Zwei positive quadratische Formen von gleicher negativer Determinante \(D\) sind ``äquivalent'', wenn ihre ersten Wurzeln (mit positiv imaginärem Bestandteil) es sind. Eine Form ist ``reducirt'', wenn ihre erste Wurzel dem Fundamentaldreieck angehört. Andererseits werde \(\omega\) einer Transformation \(n^{\text{ter}}\) Ordnung (d. h. von der Determinante \(n\)) unterworfen: \[ \omega'= \frac {a \omega+b}{c \omega+d} \qquad (ad-bc= n). \] Man kann diese Ausdrücke \(\frac {a \omega+b}{c \omega+d}\) leicht in \(\Phi (n)\) Reihen verteilen (wo \(\Phi (n)\) die Summe der Divisoren von \(n\) bedeutet), sodass jede Reihe nur äquivalente Grössen enthält. Irgend \(\Phi (n)\) herausgegriffene Glieder dieser Reihen, \(R_1(\omega), R_2(\omega), \dots\) bilden ein Repräsentantensystem der Transformation \(n^{\text{ter}}\) Ordnung. Versteht man dann unter \(J(\omega)\) die absolute Invariante des elliptischen Integrals erster Gattung, so hat die Function \[ F(\omega)= \prod_i [J(\omega)-J(R_i(\omega))] \] die Eigenschaft \(F[S(\omega)]= F(\omega)\) und besitzt infolgedessen innerhalb des Fundamentaldreiecks eine gleiche Anzahl von Null- und Unendlichkeitsstellen \(N= U\). Beide Seiten dieser Gleichung lassen sich unabhängig von einander auswerten. Die linke erhält den Wert \(\sum_kH(-4n+k^2)\) wo \(H\) die Zahl der verschiedenen Klassen von positiven Formen der Determinante \(D= -4n+k^2\)\quad \((k= 0,\pm1,\pm2, \dots)\) bedeutet. Rechts dagegen kommt die Summe \(\Phi(n)+\Psi(n)\), wo \(\Psi(n)\) eine zweite, einfache zahlentheoretische Function von \(n\) ist. Dies ist die gemeinte Relation erster Stufe: \(\sum H(-4n+k^2)= \Phi(n)+\Psi(n)\). In analoger Weise werden im zweiten Abschnitte Substitutionen \(T= \left( \begin{smallmatrix} \alpha & \beta \\ \gamma & \delta \end{smallmatrix} \right)\), ``der \(q^{\text{ten}}\) Stufe'', das sind solche, wo \[ \alpha :\beta :\gamma :\delta= 1:0:0:1\;(\text{mod.} q), \] in Betracht gezogen und die zugehörigen Functionen \(F(\omega)\) aufgestellt. Die Grösse \(T(\omega)\) heisst zu \(\omega\) relativ äquivalent. An Stelle des Fundamentaldreiecks tritt ein ``Fundamentalpolygon'' (vom Geschlecht \(p\)), das sich aus einer Reihe von Dreiecken \(S_1(\omega), S_2(\omega), \dots\) zusammensetzt, und ein volles System relativ inäquivalenter Grössen darstellt. Durch Vereinigung der zusammengehörigen Ränder des Polygons entsteht die ``Riemann'sche Fläche der \(q^{\text{ten}}\) Stufe''. Es wird in Riemann'scher Weise der Satz bewiesen: ``Jede auf der Fläche existirende unverzweigte Function ist eine eindeutige Function von \(\omega''\). Folglich sind im besonderen die auf der Fläche existirenden überall endlichen Integrale und \(\vartheta\)-Functionen eindeutige Functionen von \(\omega\), ``der \(q^{\text{ten}}\) Stufe''. Ein solches überall endliches Integral der \(q^{\text{ten}}\) Stufe ist geradezu definirbar als eine endliche Function \(f(\omega)\), die der Gleichung genügt: \[ f\{T(\omega)\}= f(\omega)+\text{const.} \] Nunmehr wird mittels der zur Fläche gehörigen \(\vartheta\)-Function ein Productausdruck \(F(\omega)\) her\-ge\-stellt, der die Eigenschaft erhält, bei Ersetzung von \(\omega\) durch \(T(\omega)\) nur einen, von \(\omega\) unabhängigen Factor anzunehmen. Eine solche Function hat aber im Fundamentalpolygon die gleiche Zahl von Null- und Unendlichkeitsstellen: \(N = U\). Weiter verfährt man, wie oben. Die linke Seite \(N\) geht über in die ``linke Seite der Klassenanzahlrelation''. Die rechte \(U\) setzt sich aus gewissen, von \(n\) und \(q\) abhängigen, zahlentheoretischen Functionen zusammen. Eine wirkliche Durchführung wird für \(q = 7\) geleistet. Die 3 überll endlichen Integrale sind in diesem Falle identisch mit den Integralen erster Gattung der (von Klein, Jordan, Poincaré studirten) Curven vierter Ordnung \(x^3_1x_2+x^3_2x_3+x^3_3x_1= 0\). Die drei im Ausdruck von \(U\) auftretenden zahlentheoretischen Functionen \(\psi_1(m),\psi_2(m),\psi_3(m)\) (\(m \equiv \kappa\) (mod.7) und \(D= -4n+k^2)\) sind die Coefficienten der Entwicklung der drei Integrale erster Gattung nach Potenzen \((q^{\frac {2m}{7}})\) von \(q\).