Investigations on quadratic forms. 1. Determination of the number of distinct forms a given genus contains. (Q1543645)

Es handelt sich um die Ermittelung von Zahlen, welche im Falle ``allgemeiner'' Genera, d. i. von quadratischen Formen mit \(n\) Variabeln dieselbe Rolle spielen, wie im Falle binärer Genera die Klassenzahlen. Man bemerkt aber bald, dass sich die Aufgabe, wenn anders man zu einfachen Formeln gelangen will, naturgemäss dahin modificirt, die (endlichen) Verhältnisse zu bestimmen, in welchen die (unendliche) Anzahl der in einem Genus enthaltenen Formen steht zu der (gleichfalls unendlichen) Anzahl der in irgend einer Klasse des Genus enthaltenen. Eine solche Verhältniszahl heisst dann das ``Mass'' der betreffenden Klasse. So ist z. B. der reciproke Wert dieses ``Masses'' bei den binären Klassen negativer Determinante in der Regel gleich zwei (ausnahmsweise vier resp. sechs), da eine zugehörige quadratische Form \(f\) nur zwei (resp. vier, sechs) lineare ganzzahlige Substitutionen von der Determinante Eins in sich zulässt. Das Analoge findet für quadratische, definite Formen von \(n\) Variabeln statt. Um derartige Untersuchungen mit Erfolg auszuführen, kam es vor allem auf eine zweckmässige Definition des ``Genus'' an. Diese bot sich dem Verfasser schon früher in folgender Weise dar: ``Alle Formen, welche denselben Trägheitsindex \(J\) haben, wie eine gegebene Form \(f\), und welche mit dieser Form ``für einen jeden beliebigen Modul congruent sind, bilden ein Genus''. Dabei heissen zwei Formen \(f\), \(g\) von \(n\) Variabeln ``congruent'' in Bezug auf einen Modul \(N\), wenn es lineare Substitutionen von einer Determinante \(\equiv 1\) (mod. \(N\)) giebt, durch welche die Form \(f\) der Form \(g\) (mod. \(N\)) congruent wird. Zunächst wird ein Genus von Formen \(f\) durch sein ``vollständiges System von Invarianten'' charakterisirt. Diese werden gebildet einmal vom Trägheitsindex \(J\), sodann von gewissen \(2n - 1\) Invarianten der Form \(f\) und endlich von den Charakteren (\(\pm 1\)) der Form \(f\), welche letztere in Gestalt Legendre'scher Symbole auftreten, die möglichst einfach gewählt werden. Eine Form \(f\) mit diesen ``kanonischen'' Charakteren heisst eine ``charakteristische'': solche lassen sich in jeder Klasse finden. Die erste Aufgabe ist dann die Aufstellung der Anzahl der ``Formenreste'' eines gegebenen Genus in Bezug auf einen gegebenen Modul \(N\). Dabei gehen die ``Reste'' einer Form \(f= \sum a_{ik}x_ix_k\) (mod. \(N\)) aus dieser hervor, indem die Coefficienten \(a_{ik}\) ersetzt werden durch irgend welche, ihnen (mod. \(N\)) congruente Zahlen. Die Anzahl dieser Formenreste ist ein Divisor der Formenanzahl des Genus (und man erhält so für variirende \(N\) alle wesentlichen Divisoren der Art). Die skizzirte Aufgabe wird nach bekanntem Verfahren gelöst durch Ausübung eines vollen Systems lauter incongruenter Substitutionen \(T\) von einer Determinante \(\equiv 1\) (mod. \(N\)) auf die Form \(f\), und kommt zurück auf die Eruirung der Anzahl \(f(N)\) derjenigen \(T\), sie mögen \(\top\) heissen, welche auf den ``Rest'' \(f\) (mod. \(N\)) ohne Wirkung bleiben, und diese Aufgabe wiederum auf die einfachere der Bestimmung von \(f(p^t)\) resp. \(f(p)\), wenn \(p^t\) eine in \(N\) aufgehende Primzahlpotenz ist. Dabei darf man annehmen, dass die Coefficienten \(a_{0k}\) nicht sämtlich den Factor \(p\) haben. Der Fall \(p = 2\) wird für sich behandelt. Die Einführung gewisser, von Jordan studirter Congruenzsätze ermöglicht in allen Fällen die Lösung. Für \(p = 2\) gelingt die Zurückführung der Grössen \(f(2^t)\) für Reste von \(n\) Variabeln auf entsprechende Grössen für Reste von weniger als \(n\) Variabeln. Der vollständige Ausdruck der Grösse \(f(2)\) lässt sich hinschreiben. Ebenso der Ausdruck für die Grössen \(f(p)\) in seiner Abhängigkeit von den Charakteren des Genus. Diese Entwicklungen ergeben als Wert für die Formenanzahl eines Genus: ``\(M\Omega\)'', wo \(M\) (das ``Mass'' des Genus), abgesehen von einem geschlossenen Invarianten-Factor, das über alle Primzahlen erstreckte Product ist: \[ \frac{1}{f(2)} \cdot \frac{1}{f(3)} \cdot \frac{1}{f(5)} \dots \frac{1}{f(p)} \dots \] und \(\Omega\) eine positive unendliche Grösse, die nur von \(n\) und \(J\) und von der Anzahl der Darstellungen der Zahl Null durch die Formen des Genus abhängt. Es war dies Resultat ein mehr auf Grund der angedeuteten Congruenzsätze erratenes: der zweite Teil der Arbeit giebt, für (positive) definite Genera, den strengen Nachweis, der eine Art Combination des Verfahrens ``von \(n\) auf \(n\) + 1'' mit der berühmten Dirichlet'schen Grenzmethode der arithmetischen Progressionen darstellt. Ein Teil der entwickelten Formeln war bereits früher von St. Smith aufgestellt, wenn auch in einer Form, die die Beziehungen zu den Invarianten des Genus nicht so durchsichtig macht. Zum Schluss wird auf den Zusammenhang der oben gegebenen Massdarstellung mit gewissen, allgemeinen, von Jordan untersuchten Gruppenbildungen aufmerksam gemacht. Der Beweis für indefinite Genera soll in einer weiteren Abhandlung folgen.