On the representation of numbers by forms. (Q1543647)

Das Problem der Darstellung einer ganzen Zahl durch ein binäres homogenes Polynom wird hier auf die Theorie der Dedekind'schen Ideale basirt. Zunächst wird gezeigt, dass es immer erlaubt ist, den ersten Coefficienten des gegebenen Polynoms gleich Eins anzunehmen. Ist \(m\) eine gegebene ganze Zahl, so sollen für \(x, y\) solche ganzzahligen Werte bestimmt werden, dass: \[ \begin{aligned} m & = x^n+A_{n-1}x^{n-1}y+\cdots +A_1xy^{n-1}+A_0y^n\\ & = \Phi = (x+\alpha_1y)(x+\alpha_2y) \dots (x+\alpha_ny)\\ & = \text{Norm}(x+\alpha_1y), \end{aligned} \] wo \(\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n\) die Wurzeln des Polynoms \(\Phi\) seien. Das Problem wird verallgemeinert aufgefasst, in dem Sinne, dass für \(x+\alpha_1y\) irgend eine Zahl des zur Gleichung \(\Phi = 0\) gehörigen ``Körpers'' \(\Omega\), nämlich eine Zahl von der Form (mit ganzen, rationalen Coefficienten) \[ x= x_0+\alpha_1x_1+\alpha^2_1x_2+\cdots +\alpha_1^{n-1}x_{n-1} \] substituirt wird. Unter den Lösungen dieser Aufgabe hat man nachträglich alle die wegzulassen, für welche die ganzen Zahlen \(x_2,x_3, \dots x_{n-1}\) nicht verschwinden. Unter allen Idealen (des Körpers \(\Omega\)) mit der Norm \(m\) befindet sich auch dasjenige Hauptideal, das aus dem System der Zahlen \[ x(n_0+n_1\alpha_1+\cdots +n_{n-1}\alpha_1^{n-1}) \] (wo die \(n\) unbestimmte ganze Zahlen sind) gebildet wird. Man suche daher sämtliche Hauptideale von der Norm \(m\) und bringe sie auf die letzterwähnte Form, so hat man die gewünscht Zahlen \(x_0,x_1, \dots,x_{n-1}\). Dies führt, ganz wie bei den quadratischen Formen, auf die beiden Aequivalenzprobleme: Erstens zu erkennen, wann zwei Polynome mit \(\mu\) Variabeln, die innerhalb des Körpers \(\Omega\) in Linearfactoren zerlegbar sind, äquivalent sind, und , wenn dies der Fall, die ganzzahligen Substitutionen anzugeben, welche eine Form in die andere überführen. Da diese beiden Probleme als von Hermite gelöst anzusehen sind, so beschränkt sich der Herr Verfasser auf die Erledigung des ersterwähnten Problems, alle Ideale von gegebener Norm und unter ihnen die Hauptideale zu ermitteln. Dies geschieht durch die Einteilung der Ideale in gewisse Gattungen (``einfache'' , ``primitive'' Ideale), und ihre Zurückführung auf gewisse kanonische Formen. Setzt sich nämlich das Ideal aus \(n\) Zahlen von der Form: \[ x^{(k)}= x_0^{(k)}+\alpha_1x_1^{(k)}+\alpha_1^2x_2^{(k)}+\cdots +\alpha_1^{n-1}x_{n-1}^{(k)} \] \[ (k= 1,2, \dots ,n) \] linear und ganzzahlig zusammen, so kann man es stets erreichen, dass ein Teil der Darstellungscoefficienten \(x_i^{(k)}\) verschwindet, während zwischen den übrigen einfache Teilbarkeitsbeziehungen bestehen. Endlich hat man, gemäss der Zerlegung der Zahl \(m\) in Potenzen von Primfactoren, Kriterien dafür zu gewinnen, wann ein in ``einfacher'' oder ``primitiver'' Gestalt vorgelegtes Ideal ein Primideal, resp. die Potenz eines solchen ist. Bei der Ausführung der erwähnten Operationen ergiebt sich, dass man zur wirklichen Darstellung der unbekannten Zahlen \(x_0,x_1, \dots,x_{n-1}\) der Kenntnis einer Wurzel der Congruenz: \[ x^n+A_{n-1}x^{n-1}+A_{n-2}x^{n-2}+\cdots +A_0 \equiv 0\;(\text{mod.}m) \] bedarf. Zum Schlusse wird erläutert, wie man im stande ist, die Anzahl der bei diesem Verfahren verwandten ``überflüssigen'' Processe (z. B. der Bestimmung der Zahlen \(x_2,x_3, \dots, x_{n-1}\)) möglichst herabzudrücken.