On the representation of the limits of integrals with the help of residues. (Q1543656)

In dieser Abhandlung stellt der Verfasser seine im Jahre 1874 gegebenen Theoreme über die Grenzwerte des Integrals in folgender Weise dar (für die Bezeichnungen und die Bedingungen siehe das vorhergehende Referat über die Arbeiten Markoff's): \[ \int^{z_n}_{z_e} f(x)dx \geq \sum^{z_n-\omega}_{z_e+\omega}\;\frac{\varphi(z)}{\psi(z)}\quad \text{und}\quad \leq \sum^{z_n+\omega}_{z_e-\omega}\;\frac{\varphi(z)}{\psi(z)} \] Hiernach zeigt er, dass diese Ungleichheiten eine Folge der anderen allgemeineren Formeln sind, welche die Grenzwerte des Integrals \(\int^v_a f(x)dx\) geben, nämlich der Formeln: \[ \int^v_a f(x)dx \leq \sum^{v+\omega}_{a-\omega} {\mathfrak F} (z)\quad \int^v_a f(x)dx \geq \sum^{v-\omega}_{a-\omega} {\mathfrak F} (z). \] \({\mathfrak F}(z)\) ist ein rationaler Bruch, welcher von der Anzahl der gegebenen Integrale \(\int^b_a f(x)dx\), \(\int^b_a xf(x)dx, \dots\) und ihrer Grösse abhängt. Es ist nämlich \({\mathfrak F}(z)\) gleich \[ \frac{1}{\alpha_1z+\beta_1}_{-\textstyle\frac{1}{\alpha_2z+\beta_2}_{\textstyle-\cdots - \frac{1}{\alpha_mz+\beta_m}_{-\textstyle \frac 1Z\,,}}} \] wo \(Z\) verschiedene Werte hat, je nachdem die Anzahl der gegebenen Integrale gerade oder ungerade ist. Der Beweis dieser allgemeinen Formeln ist nicht gegeben. Am Ende der Abhandlung wendet der Verfasser die gegebenen Formeln auf die Lösung der schon im vorhergehenden Referate (JFM 17.0171.02) erwähnten geometrisch-mechanischen Aufgabe an und beweist die früher in Liouville J. ohne Beweis gegebenen Resultate.