Lagrange series and approximation formulas for functions of very large variables. Part I: Lagrange series. (Q1543730)

Unter den verschiedenen Untersuchungsmethoden der Reihe von Lagrange ist die bequemste, einfachste und dem Inhalte nach reichste diejenige, welche sich auf die Eigenschaft des Moduls des Ausdrucks \(z^{-1}f(u+z)\) und auf die Theorie der complexen Integrale stützt. Doch hat diese Untersuchungsmethode noch nicht die erwünschte Vollkommenheit erreicht. So wie in den Arbeiten Cauchys, welcher zuerst diese Methode zur Erforschung der Lagrange'schen Reihe angewandt hat, so hat auch der Verfasser bei anderen Geometern in Werken, die diese Methode betreffen, viel Unklares und Ungenaues gefunden dies hat ihn bewogen, die ganze Lehre von der Reihe von Lagrange aufs neue durchzusehen. Es wurden besonders zwei Hauptziele dabei von ihm festgehalten, erstens auf alle Ungenauigkeiten der vorhandenen Literatur über die Reihe von Lagrange hinzuweisen, zweitens die Untersuchungsmethode dieser Reihe wo möglich zu verbessern. Demgemäss kann die Arbeit in zwei Teile geteilt werden. Der erste (erstes Capitel) ist einer ausführlichen historisch-kritischen Uebersicht der Literatur der Reihe von Lagrange gewidmet. Da Ungenauigkeiten, welche schon in einem Werke verbessert worden sind, sich dennoch in einem anderen von neuem wiederholen, so hat der Verfasser in seiner Uebersicht nicht nur auf die noch nicht verbesserten Ungenauigkeiten hingewiesen, sondern auch auf die schon von andern verbesserten aufmerksam gemacht. In dieser historisch-kritischen Uebersicht sind der Reihe nach die Untersuchungen von Lagrange, Laplace, Bürmann, Chio, Cauchy, Marie, Rouché, Picart, Menabrea, Tschebyscheff, Zolotareff u. a. in gründlichster Weise auseinander gesetzt, kritisirt und studirt. Der Referent kann nur bedauern, dass er viele neue Theoreme, die diese Untersuchungen ergänzen, nicht anführen kann. Der zweite Teil der Arbeit (zweites und drittes Capitel) ist den Untersuchungsmethoden gewidmet, welche auf den Eigenschaften des Moduls der Function \(z^{-1}f(u+z)\) gegründet sind. Unter diesen Methoden ist diejenige mehr bekannt, in welcher der sogenannte Modul maximum maximorum betrachtet wird. Diese Methode ist im zweiten Capitel des Werkes behandelt; sie unterliegt Einschränkungen, welche von niemandem vor dem Verfasser bemerkt wurden, führt jedoch in gewissen Fällen zu einfachen und anwendharen Resultaten, welche sowohl die Frage nach der Charakterisirung der Wurzel, auf die sich die Reihe von Lagrange bezieht, wie auch die Frage nach dem Modul des Complementärgliedes der Lagrange'schen Reihe betreffen, und daher ein aufmerksames und ausführliches Studium verdienen. Bei diesem Studium hat der Verfasser neue Begriffe über die Veränderung des Moduls maximum maximorum der Function \(z^{-1}f(u + z)\) festgesetzt und sie zur Bestimmung der Bedingungen angewandt, bei denen die Methode selbst anwendbar ist (diese Bedingungen treffen nicht immer mit den Bedingungen der Convergenz der Lagrange'schen Reihe zusammen). Dieselben Begriffe werden hiernach angewandt, um die Bedingungen zu erhalten, unter denen die Charakterisirung der Wurzel, welche durch die Reihe ausgedrückt wird, nach der Methode von Lagrange möglich ist. Dann zeigt der Verfasser, dass seine Untersuchungen auch zur Untersuchung der von Cauchy in seiner Abhandlung: ``Résumé d'un mémoire sur la Mécanique céleste et sur un nonveau calcul appelé calcul des limites'' gegebenen Methode zur Bestimmung der höchsten Grenzen des allgemeinen und complementären Gliedes der Reihen dienen. Damit endet das zweite Capitel des Werkes. Bei der Untersuchung des Moduls maximum maximorum betrachtet man die Kreise, welche um den Anfang der Coordinaten beschrieben sind. Da die Methode des Moduls maximum maximorum Einschränkungen unterliegt, führt der Verfasser im dritten Capitel eine Verallgemeinerung ein, indem er nicht nur solche Kreise, sondern auch andere Curven betrachtet, die wichtiger für die Untersuchung der Lagrange'schen Reihe erscheinen. Die Idee dieser Verallgemeinerung gehört zwar Cauchy, aber der Verfasser hat zum ersten Male die volle Entwickelung dieser Idee durchgeführt. Er betrachtet dabei die Oberfläche des Moduls einer gegebenen Function; das genaue und vollständige Studium dieser Flächen, der Niveaucurven und ihrer orthogonalen Trajectorien nimmt die grössere Hälfte des dritten Capitels ein. Auf diesen Betrachtungen beruht nun die vollständige Theorie der Lagrange'schen Reihe und das allgemeine Gesetz ihrer Convergenz. Da das allgemeine Convergenzgesetz der Lagrange'schen Reihe äusserst verwickelt ist, so bietet der Verfasser mehrere gut anwendbare Regeln zur Bestimmung der Convergenzbedingungen in den wichtigsten Fällen. In demselben Capitel betrachtet der Verfasser die Constructionsmethode der geschlossen Umläufe, welche die Wurzel, auf die sich die Reihe von Lagrange bezieht, charakterisiren. Die Fortsetzung der Arbeit ist dem Zusammenhange der Lagrange'schen Reihe und der Theorie der angenäherten Ausdrücke der Functionen sehr grosser Zahlen gewidmet.