Ueber eine bei Anwendung der partiellen Integration nützliche Formel. (Q1543794)

Die Formel, von welcher in der vorliegenden Abhandlung eine grosse Zahl interessanter und wichtiger Anwendungen entwickelt werden, lautet folgendermassen: \[ (J)\quad \begin{cases} \int_{x_0}^xf^{(n)}(x)g(-x)dx--\int^xf(x)g^{(n)}(-x)dx \\ =\sum_1^n \;_h \int_{x_0}^x d[f^{(h-1)}(x)g^{(n-h)}(-x)]. \end{cases} \] Man verificirt dieselbe ohne weiteres, indem man beiderseits nach \(x\) differentiirt. Die Anwendungen sind die folgenden: 1) Es entsteht aus (J) die Taylor'sche Entwicklung, wenn man die Integrationsvariable mit \(z\) anstatt mit \(x\) bezeichnet und \[ F(x)= \int_{x_0}^x f(z)dz,\quad g(z)=\frac{(x+z)^n}{n!} \] setzt. 2) Bei der Annahme \(g(z)=e^{ux}\) entsteht die Formel: \[ \int_{x_0}^x f^{(n)}(x)e^{-ux}dx-u^n\int_{x_0}^x f(x)e^{-ux}dx=\sum_1^n{}^h u^{n-h}[f^{(h-1)}(x)e^{-ux}- f^{(h-1)}(x_0)e^{-ux_0}]. \] 3) Nimmt man für \(f(x)\) eine ganze Function \((n-1)^{\text{ten}}\) Grades, für \(g(x)\) die Function \((x+x_0)^n(x+x_1)^n\) und setzt die obere Grenze der in der Formel (J) auftretenden Integrale gleich \(x_1\), so ergiebt sich der folgende für die Theorie der mechanischen Quadratur wichtige Satz: Sei \[ \varphi(x)=\frac{d^n[(x-x_0)(x-x_1)]^n}{dx^n}, \] so ist \[ \int_{x_0}^{x_1}f(x)\varphi(x)dx= 0, \] wenn \(f(x)\) irgend eine ganze Function vom Grade \(n-1\) bedeutet. 4) Es bedeute \(f(x)\) eine ganze Function, welche ebenso wie ihre \(n-1\) ersten Ableitungen im Intervalle \(x=0\) bis \(x=1\) stetig ist, an den beiden Grenzen des Intervalls denselben Wert besitzt und deren \(n^{\text{te}}\) Ableitung durch eine Fourier'sche Reihe darststellbar ist. Setzt man nun in der Formel (J) \[ g(x)=\cos 2k(x+y)\pi, \] wo \(k\) eine beliebige ganze Zahl und \(y\) eine Variable bedeutet, so kommt: \[ \int_0^1f^{(n)}(x)\cos{}2k(y-x)\pi dx=(2k\pi)^n\int_0^1f(x)\cos{}(2ky-2kx+\tfrac 12\, n)\pi dx. \] Diese Gleichung besagt aber, dass die Fourier'sche Entwicklung von \(f(x)\) durch \(n\)-malige gliedweise Integration aus der von \(f^{(n)}(x)\) abgeleitet werden kann. 5) Wählt man für \(f(x)\) eine Function, welche nebst ihren \(n-1\) ersten Ableitungen im Intervalle von \(x=x_0\) bis \(x=x_r\) endlich und stetig ist und für \(g(x)\) eine solche, deren \((n-1)^{\text{te}}\) Ableitung an den aufeinander folgenden Stellen \[ -x=x_1, x_2,\dots, x_{r-1} \] des Intervals \((x_0, x_r)\) unstetig, dabei jedoch überall endlich ist, so entsteht aus der Gleichung (J) eine merkwürdige Summenformel. Um diese bequem schreiben zu können, seien \[ \varphi_1(x),\varphi_2(x), \dots, \varphi_r(x) \] \(r\) stetige, differentiirbare Functionen, ferner \[ g^{(n-1)}(-x)=\varphi_k(x), \] wenn \(x\) dem Intervalle \((x_{k-1},x_k)\) angehört. Es sind dann \(g^{(n-2)}(x),g^{(n-3)}(x),\dots,g(x),\) aus der Gleichung \[ g^{(h-1)}(x)=\int_{u_h}^x g^{(h)}(x)dx\quad (h=n-1, n-2,\dots,1) \] zu bestimmen, wobei \(u_1,u_2,\dots, u_{n-1}\) willkürliche Grössen bezeichnen. Die in Rede stehende Formel lautet nun: \[ {\mathfrak S}\quad \begin{cases} \qquad \sum_0^r{}_k[\varphi_k(x_k)- \varphi_{k+1}(x_k)]f(x_k) \\ \quad =\int_{x_0}^{x_r}\;f(x)\varphi'(x)dx+\int_{x_0}^x f^{(n)}(x)g(-x)dx \\ + \sum_2^n{}_h\;[f^{(h-1)}(x_0)g^{(n-h)}(-x_0)-f^{(h-1)}(x_r)g^{(n-h)}(-x_r)]. \end{cases} \] Dabei ist \[ \varphi_0(x_0)=\varphi_{r+1}(x_r)=0 \] und , für \[ x_{k-1}<x<x_k, \quad \varphi'(x)=\varphi'_k(x) \] zu setzen. Die besonderen Annahmen \[ u_1 = u_2 =\dots=u_{n-1}=x_0 \] und \[ \varphi_k(x)=x-x'_{k-1}\quad(k=1,2,\dots,r), \] wo die Grössen \(x'\) nur der Bedingung \[ x_{k-1}\leqq x_{k-1}'\leqq x_k \] unterworfen sind, ergeben aus der Summenformel \((\mathfrak S)\) den Ausdruck \[ \int_{x_0}^{x_r}f(x)dx-\sum_1^{n-1}{}_h\;f^{(h)}(x_r)g^{(n-h-1)}(-x_r)+ \int_{x_0}^{x_r}f^{(n)}g(-x)dx \] als den Wert der Summe \[ (x'_0-x_0)f(x_0)+(x'_1-x'_0)f(x_1)+\cdots+(x_r-x'_{r-1})f(x_r). \] Hieraus ist zu ersehen, mit welcher Annäherung letztere Summe den Wert des Integrals \(\int_{x_0}^{x_r}f(x)dx\) darstellt. 6) Es seien \[ a_1,\;a_2,\;a_3,\;\dots;\quad v_1,\;v_2,\;v_3,\;\dots \] beliebige Grössen, welche jedoch so beschaffen sind dass die Reihe \[ \sum_1^\infty{}_k\;\frac{a_k}{2k\pi}\;\cos{}(2kx+v_k+\tfrac 12)\pi \] für jeden Wert von \(x\) convergirt, eine innerhalb des Intervalls \(x=0\) bis \(x=1\) endliche, stetige, differentiirbare Function darstellt, und sich zwei verschiedenen Grenzwerten nähert, wenn man einerseits \(x\) bis zu Null abnehmen, andererseits bis zu Eins zunehmen lässt. Wählt man nun \(g(x)\) so, dass \(g^{(n-1)}(-x)\) jener Reihe gleich wird, und integrirt in der Formel (J) von Null bis zu einer ganzen Zahl \(r\), so ergiebt sich: \[ ({\mathfrak S')}\quad\begin{cases} \qquad \delta\;\sum_0^{r-1}{}_k\;f(k)= \int_0^r f(x)g^{(n)}(-x)dx \\ +\sum_0^{n-1}{}_h\;\gamma_{h+1}(f^{(h)}(r)-f^{(h)}(0))-\int_0^r\;f^{(n)}(x)g(-x)dx.\end{cases} \] Hier bedeutet \(f(x)\) irgend eine Function, welche nebst ihren erst \(n-1\) Ableitungen stetig ist; ferner ist: \[ g(-x)= \sum_1^\infty{}_k\;\frac{a_k}{(2k\pi)^n}\;\cos{}(2kx+v_x+\tfrac n2)\pi,\quad g^{(n)}(x)=\frac{d^ng(x)}{dx^n}, \] \[ \gamma_h=\lim_{\varepsilon=0}\;\sum_1^\infty{}_k\;\frac{a_k}{(2k\pi)^h}\;\cos{}(2k\varepsilon^2-v_k-\tfrac h2)\pi,\quad (h=1,2,\dots,n) \] \[ \delta=-2\lim_{\varepsilon=0}\;\sum_1^\infty{}_k\;\frac{a_k}{2k\pi}\sin{}2k\varepsilon^2\pi\cos{}v_k\pi. \] Nimmt man \(n=2m\), \(a_k=-2\) und \(v_k=0\), so resultirt aus \((\mathfrak S')\) die bekannte Poisson'sche Formel: \[ \begin{aligned} \tfrac 12\,f(0)& +f(1)+\cdots+f(r-1)+\tfrac 12\,f(r)=\int^r\,f(x)dx \\ & +\sum_1^m{}_h(f^{(2h-1)}(0)- f^{(2h-1)}(r)) \sum_1^\infty{}_k\;\frac{(-1)^h.2}{(2k\pi)^{2h}} \\ & +(-1)^m\;\int_0^r\;f^{(2m)}(x).\sum_1^\infty{}_k\;\frac{2\cos{}2kx\pi}{(2k\pi)^{2m}}\;dx.\end{aligned} \] Herr Kronecker macht besonders darauf aufmerksam, dass diese Formel wesentlich an Eleganz verliert, wenn man an Stelle der Reihe \[ \sum_1^\infty{}_k\;\frac{2\cos{}2kx\pi}{(2k\pi)^{2m}}\,, \] wie das seit Jacobi üblich geworden ist, ihren Ausdruck als ganze Function von \(x\) einführt. Diese Darstellung jener Reihe als ganze Function von \(x\) kann aus der Partialbruchzerlegung der Function \(\frac{w.e^{2wx\pi i}}{1-e^{2w\pi i}}\) entnommen werden, indem man nämlich in der Gleichung \[ \frac{w.e^{2wx\pi i}}{1-e^{2w\pi i}}=\frac{w}{2\pi i}\lim_{\nu=\infty}\;\sum_{-\nu}^{+\nu}{}_k\;\frac{e^{2kx\pi i}}{k-w} \] beiderseits nach steigenden Potenzen von \(w\) entwickelt. An die Formel \((\mathfrak S')\) knüpfen sich nun noch weitere Betrachtungen, welche sich auf die Abschätzung der Grösse des ``Restintegrals'' \(\int_0^rf^{(n)}(x)g(-x)dx\) beziehen. Schliesslich wird noch aus derselben Formel, durch die Annahmen \[ n=2m,\quad v_1=v_2=\cdots=0,\quad a_1=a_2=\cdots=a_{s-1}=0, \quad a_s=a_{s+1}=\cdots=-2, \] die folgende Gleichung abgeleitet: \[ \begin{aligned} \tfrac 12 \,f(0)+f(1) & +\cdots+f(r-1)+\tfrac 12\, f(r)=\int_0^r\;f(x)\;\frac{\sin{}(2s-1)x\pi}{\sin{}x\pi}\;dx \\ & +\sum_1^m{}_h(f^{(2h-1)}(0)- f^{(2h-1)}(r))\;\sum_s^\infty{}_k\;\frac{(-1)^h.2}{(2k\pi)^{2h}} \\ & +(-1)^m\int_0^r\;f^{(2m)}(x)\sum_s^\infty{}_k\;\frac{2\cos{}2kx\pi}{(2k\pi)^m}dx.\end{aligned} \] Diese Gleichung ist darum bemerkenswert, weil sie eine Verbindung zwischen der Poisson'schen und einer bekannten Dirichlet'schen Summenformel herstellt. Sie geht natürlich in die erstere Formel für \(s=1\), in die letztere für \(s=\infty\) über.