Ueber den Cauchy'schen Satz. (Q1543822)

Die vorliegende Note enthält den Beweis des folgenden Cauchy'schen Satzes (von welchem der Verfasser einen anderen Beweis in den Berl. Ber. vom 29. Juli 1880 gegeben hat): ``Wenn von einer Function \(f(x,y)\) vorausgesetzt wird, dass ihre ersten und zweiten Ableitungen in einem von einer geschlossenen Curve umgrenzten Gebiete durchweg endlich und eindeutig sind, so lässt sich erschliessen, dass das über diese Curve erstreckte Integral \(\int df(x,y)\) gleich Null, und dass also die Function \(f(x, y)\) in dem bezeichneten Gebiete eindeutig ist.'' Aus den Voraussetzungen folgt zunächst, dass bei der Integration die Begrenzungscurve durch ein derselben eingeschriebenes geradliniges Polygon ersetzt werden darf, welches sich der Curve hinreichend nahe anschliesst. Dieses Polygon lässt sich in rechtwinklige Dreiecke zerlegen, deren Katheten den Coordinatenaxen parallel laufen, und es genügt, den Satz für die Begrenzung eines solchen Dreiecks zu weisen. Führt man aber in dem über die Fläche des Dreiecks ausgedehnten Integrale \[ \iint \frac{\partial^2f(x,\;y)}{\partial x\partial y}\;dxdy \] die Integration einmal nach \(x\), ein anderes Mal nach \(y\) aus, so ergiebt der Vergleich der beiden Resultate direct den zu beweisenden Satz. Es wird noch bemerkt, dass man das ursprüngliche Gebiet anstatt durch ein System von rechtwinkligen Dreiecken auch durch ein System von Rechtecken, deren Seiten den Coordinatenaxen parallel laufen, hätte ersetzen können. Auf pag. 786 dritte Zeile von unten ist in der oberen Grenze des letzten Integrals \(t=0\) in \(t=1\) zu verbessern.