Sur une nouvelle classe d'équations différentielles linéaires integrables. (Q1543838)

Damit das allgemeine Integral einer linearen Differentialgleichung \[ P_0\;\frac{d^ny}{dx^n}+P_1\;\frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}}+\cdots+P_{n-1}\;\frac{dy}{dx}+P_ny=0 \] die Form habe \[ y=e^{ax}f(x)+e^{bx}\varphi(x)+e^{cx}\psi(x)+\cdots, \] wo \(f,\varphi,\psi,\dots\) rationale Functionen bezeichnen, ist es notwendig und hinreichend, 1) dass die Coefficienten \(P\) ganze Polynome seien, deren Grad denjenigen von \(P_0\) nicht überschreite, 2) dass ihr allgemeines Integral eindeutig sei. Die Constanten \(a,b,c,\dots\) sind die Wurzeln der Gleichung \[ A_0z^n+A_1z^{n-1}+\cdots+A_{n-1}z+A_n=0, \] wo \(A_k\) den Coefficienten von \(x^m\) in \(P_k\) bezeichnet, falls \(m\) der Grad von \(P_0\) ist.