Sur les formes quadratiques dans la théorie des équations différentielles linéaires. (Q1543840)

In einer vorhergehenden Arbeit des Verfassers, die sich mit der Integration linearer Differentialgleichungen beschäftigte, unter der Voraussetzung, dass zwischen den Lösungen eine bekannte Relation existire, war der Fall, als eine besondere Behandlung erheischend, ausgeschlossen worden, wo der Ausdruck, der als Function der unabhängigen Variabeln \(x\) bekannt ist, eine quadratische Form in Beziehung auf die Lösungen \(y_1,\dots,y_n\) mit constanten Coefficienten ist. In der vorstehenden Note sucht der Verfasser diese Lücke zu ergänzen. Zunächst wird gezeigt, dass, wenn \(\chi(y_1,\dots,y_n)=\chi(y)\) die quadratische Form ist, deren Ausdruck in \(x\) bekannt ist, man zwei von \(x\) abhängige Functionen \(a\) und \(b\) stets so bestimmen kann, dass \(\chi(z)=\chi(ay+by')\) gleich Null wird. Zwischen den Lösungen \(z_1,\dots,z_n\) der transformirten Gleichung in \(z\) besteht eine homogene quadratische Relation mit constanten Coefficienten. Differentialgleichungen solcher Beschaffenheit sind bereits untersucht worden für den Fall, dass sie von der \(3^{\text{ten}}\) oder \(4^{\text{ten}}\) Ordnung sind. (Siehe F. d. M. XV. 1883. 265 ff., JFM 15.0265.02). Die erhaltenen Resultate lassen sich unmittelbar auf die vorliegende Aufgabe anwenden. Der Verfasser fügt neue Resultate hinzu, betreffend die Differentialgleichungen \(5^{\text{ter}}\) und \(6^{\text{ter}}\) Ordnung. Im ersten Falle lässt sich die Gleichung auf eine Gleichung der \(4^{\text{ten}}\) Ordnung, im \(2^{\text{ten}}\) Falle auf 2 Gleichungen, eine von der \(2^{\text{ten}}\) die andere von der \(4^{\text{ten}}\) Ordnung zurückführen. Für den Beweis dieser Reduction beschränkt sich der Verfasser auf einige Andeutungen, deren nähere Ausführung einer zweiten Mitteilung vorbehalten ist.