On some properties of certain solutions of a differential equation of the second order. (Q1543868)

Die Haupteigenschaften der Legendre'schen Functionen \(P_n\), die der Gleichung \[ (1-x^2)y''-2xy'+n(n+1)y=0 \] genügen, werden übertragen auf die Integrale der allgemeineren Differentialgleichung \[ (1)\quad (ax^2+bx+c)y''+(fx+g)y'+hy=0 \] unter der Voraussetzung, dass eine der Wurzeln der Gleichung \[ m(m-1)a+mf+h=0 \] eine ganze Zahl ist. Es giebt dann Lösungen der Gleichung (1) von einer der beiden Formen \[ y= \frac{d^n}{dx^n}\left(\frac{ax^2+bx+c}{a}\right)^{n+1}\;\frac 1R=X_n \] und \[ y= \frac{ax^2+bx+c}{aR}\;\frac{d^n}{dx^n}\left(\frac{ax^2+bx+c}{a}\right)^{n-1}.R=X_n, \] wo \[ \frac 1R\;\frac{dR}{dx}= \frac{fx+g}{ax^2+bx+c}\,. \] Für beide Lösungen gilt die Relation \[ AX_{n+2}+(B+Cx)X_{n+1}+DX_n=0, \] wo \(A,\;B,\;C,\;D\) Constanten sind. Wenn \(4-\frac fa\) positiv und numerisch grösser als \(\frac{b\;\frac fa-2g}{(b^2-4ac){\frac 12})}\) ist, wobei die Wurzeln von \(ax^2+bx+c=0\) reell vorausgesetzt sind, so ergiebt sich, dass die Wurzeln der Gleichugen \[ \frac{X_1}{X_0}=0,\quad \frac{X_2}{X_0}=0,\quad \frac{X_3}{X_0}=0,\dots \] alle reell und getrennt sind und die einer jeden zwischen den Wurzeln der nächstfolgenden liegen. Die Wurzeln von \(X_n=0\) liegen zwischen den Wurzeln \(\lambda\) und \(\mu\) von \(ax^2+bx+c=0\). Unter denselben Voraussetzungen gilt die Relation: \[ \int_\lambda^\mu X_mX_n\;\frac{Rdx}{ax^2+bx+c}=0, \] wenn \(m\) und \(n\) von einander verschiedene ganze Zahlen bezeichnen. Der Wert von \(\int_\lambda^\mu X_n^2\;\frac{Rdx}{ax^2+bx+c}\) wird mit Hülfe von Gamma-Integralen bestimmt. Endlich wird auch die erzeugende Function der \(X_n\) hergestellt. Führt man \(u\) ein durch die Gleichung \[ u=x=t\;\frac{(au^2+bu+c)}{a}, \] so erhält man nach dem Lagrange'schen Theorem die erste Lösung \(X_n\) als Coefficienten von \(\frac{t^n}{n!}\) in der Entwickelung \[ \frac{au^2+bu+c}{R(u)}\;\frac{1}{a-t(2au+b)}=\sum_n \;\frac{t^n}{n!}\;X_n. \] In ähnlicher Weise ergiebt sich die erzeugende Function für die andere Lösung \(X_n\).