Ueber einige besondere homogene lineare Differentialgleichungen. (Q1543874)

Gegenstand der Arbeit ist die Herstellung einer gewissen mit der Transformation siebenter Ordnung der elliptischen Functionen zusammenhängenden Differentialgleichung. Von dieser durch Herrn Klein angeregten Aufgabe hat bereits Herr Halphen (Klein Ann. XIV. 455 ff.) eine Lösung veröffentlicht. Die hier gegebene zweite Lösung liefert die verlangte Differentialgleichung in expliciter Form und gestattet eine Verallgemeinerung auf einen beliebigen Transformationsgrad. Die in Rede stehende Aufgabe wird, wie folgt, präcisirt: Zwischen \(\lambda,\;\mu,\;\nu\) bestehe die homogene Gleichung \[ F\equiv\lambda^3\mu+\mu^3\nu+\nu^3\lambda=0, \] und es sei \[ J=-\frac{C^2}{12^2\nabla^7}, \] wo \(\nabla\) die Hesse'sche Determinante von \(F\), und \(C\) die mit \[ \frac{\partial \nabla}{\partial \lambda},\;\;\frac{\partial \nabla}{\partial \mu},\;\;\frac{\partial \nabla}{\partial \nu} \] geränderte Hesse'sche Determinante bedeutet. Die 168 Wertsysteme von \(\lambda:\mu:\nu\), welche zu einem gegebenen Werte von \(J\) gehören, gehen, wie Herr Klein (Klein Ann. XIV. 455) bewiesen hat, durch lineare Transformationen aus einem dieser Wertsysteme hervor. Es giebt also eine homogene lineare Differentialgleichung dritter Ordnung mit den Particularlösungen \(\lambda,\;\mu,\;\nu\) als Functionen der unabhängigen Veränderlichen \(J\). Um dieselbe herzustellen, betrachtet der Verfasser drei linear unabhängige Integrale erster Gattung \(J_1,\;J_2,\;J_3\) der Curve \(F=0\), die so gewählt sind, dass \[ dJ_1:dJ_2:dJ_3\;=\;\lambda:\mu:\nu. \] Die Grössen \[ y_1= \frac{dJ_1}{dJ},\quad y_2= \frac{dJ_2}{dJ},\quad y_3= \frac{dJ_3}{dJ} \] sind algebraische Functionen von \(J\), deren Verzweigungspunkte bei \(J=\infty\), \(J=0,\) \(J=1\) liegen, derart dass in ihnen bezüglichen je 7, je 3, je 2 Blätter im Cyklus zusammenh\"ngen. Der Umstand, dass \(\int ydJ\) überall endlich ist, und die bekannte von Herrn Fuchs gegebene Relation zwischen den Anfangsexponenten in den Entwickelungen der Fundamentalintegrale einer Differentialgleichung um ihre singulären Punkte reichen hin, um die genannten Exponenten vollständig zu bestimmen. Dadurch aber ergeben sich für die Coefficienten der Differentialgleichung, deren Form nach einem Satze des Herrn Fuchs a priori bekannt ist, Bedingungsgleichungen, deren Anzahl um 1 geringer ist als die der zu bestimmenden Constanten in den Coefficienten. Die Bestimmung wird vervollständigt durch die Rücksicht darauf, dass in den Integralen keine Logarithmen auftreten dürfen. Die definitive Form der Differentialgleichung ist: \[ (1)\quad \left\{\begin{aligned} & J^2(J-1)^2\;\frac{d^3y}{dJ^3}+(7J-4)J(J-1)\;\frac{d^2y}{dJ^2} \\ & +\left(\frac{72}{7}\;(J^2-J)-\frac{20}{9}\;(J-1)+ \frac 34\;J\right)\;\frac{dy}{dJ}\\ & +\left[\frac{72.11}{7^3}\;(J-1)+ \frac 58+\frac{2}{63}\right]y=0. \end{aligned}\right. \] Von dieser Gleichung gelangt man zu der von Herrn Halphen aufgestellten durch die Substitution \(y=[J(J-1)]^{-\frac 23}z\). \(J_1,J_2,J_3\) sind identisch mit den vom Verfasser in einer früheren Abhandlung (Klein Ann. XXV. 183) betrachteten Integralen erster Gattung \(7^{\text{ter}}\) Stufe. Dieselben lassen sich in Potenzreihen von \(q=e^{i\pi\omega}\) entwickeln. Wenn man berücksichtigt, dass \[ J= \frac{g_2^3}{\varDelta}= \frac{\left[\frac{1}{12}+20\varSigma n^3\;\frac{q^{2n}}{1-q^{2n}}\right]^3}{q^2\varPi(1-q^{2n})^{24}} \] ist, so erhält man das bemerkenswerte Resultat: Die Integration der aus (1) unmittelbar abzuleitenden Differentialgleichung vierter Ordnung, der \(J_1, J_2, J_3\) selbst genügen, lässt sich in der Weise bewirken, dass die genannten Integrale und die unabhängige Variable \(J\) als eindeutige Functionen derselben Variable \(q\) dargestellt werden. Schliesslich werden einige Bemerkungen über die Verallgemeinerung der vorhergehenden Entwickelungen auf einen beliebigen Transformationsgrad hinzugefügt. Die Integrale erster Gattung \(n^{\text{ter}}\) Stufe sind die Lösungen einer homogenen linearen Differentialgleichung \(p^{\text{ter}}\) Ordnung mit \(J\) als unabhängiger Variabeln und den singulären Punkten \(J=0,1,\infty\), wobei \(p\) eine gewisse aus \(n\) zu berechnende Zahl bedeutet.