Sur l'intégration des équations linéaires aux dérivées partielles du premier ordre. (Q1543896)

Es sei \(u=\alpha,\;v=\beta\) das Integralsystem der Differentialgleichungen \(dx:X=dy:Y=dz:Z\), welche das Hülfssystem zur Lösung der partiellen Differentialgleichung \[ X\;\frac{\partial z}{\partial x}+Y\;\frac{\partial z}{\partial y}=Z \] bilden. Es ist identisch: \[ X: \frac{\delta(u,v)}{\delta(y,z)}=Y: \frac{\delta(u,v)}{\delta(z,x)}=Z: \frac{\delta(u,v)}{\delta(x,y)}; \] hierin bezeichnen die zweiten Terme dieser Verhältnisse Functionaldeterminanten, welche partielle Ableitungen in Bezug auf \(x,y,z\) enthalten, die in \(u\) und \(v\) eingehen, als ob \(x,y,z\) unabhängig wären. Bezeichnet man mit \(R\) den gemeinsamen Wert der drei Verhältnisse, so findet man ohne Mühe, dass \[ Xp+Yq=Z=R\;\frac{d(u,v)}{d(x,y)}\cdot \] Die Functionaldeterminante des zweiten Gliedes enthält jetzt die totalen Ableitungen: \[ \frac{du}{dx}= \frac{\delta u}{\delta x}+p\;\frac{\delta u}{\delta z},\;\;\frac{du}{dy}= \frac{\delta u}{\delta y}+q\;\frac{\delta u}{\delta z},\quad\text{etc}. \] von \(u\) und \(v\). Hieraus geht hervor, dass alle Lösungen der Gleichung \(Xp+Yq-Z=0\) durch \(v=\varphi(u)\) und \(R=0\) gegeben werden.