Note on the subject of the communication of M. Stieltjes ''On a uniform function''. (Q1543938)

Riemann hat in seiner Arbeit über die Frequenz der Primzahlen gezeigt, dass die Function \(\zeta(z)\), welche für die Werte von \(z\), deren reeller Bestandteil grösser als 1 ist, definirt wird durch die Gleichung \[ \zeta(z)=1+\frac{1}{2^z}+\frac{1}{3^z}+\frac{1}{4^z}+\cdots, \] in der ganzen complexen Zahlenebene eindeutig und stetig ist, ausgenommen für \(z = 1\), wo sie so unendlich wird, dass \[ \lim_{z=1} (z-1)\zeta(z)=1 \] ist. Die Function \(\zeta(z)\) verschwindet für die Werte \[ z=-1,-4,-6,\dots \] und für eine unendliche Reihe anderer, imaginärer Werte von \(z\). Riemann hat die Vermutung ausgesprochen, dass diese letzteren Nullstellen von \(\zeta(z)\) sämtlich die Form \(\frac 12 + ai\) besitzen, unter \(a\) eine reelle Grösse verstanden. Herr Stieltjes giebt nun in der vorliegenden Note (JFM 17.0375.02) den Weg an, auf welchem er zu einem Beweise des von Riemann vermuteten Satzes gelangt ist. Bekanntlich ist nach Euler \[ \frac{1}{\zeta(z)} = \prod\left( 1-\frac{1}{p^z} \right) = 1-\frac{1}{2^z} - \frac{1}{3^z} - \frac{1}{5^z} + \frac{1}{6^z}- \cdots, \] wo das Product über alle Primzahlen auszudehnen ist. Herr Stieltjes sagt nun, eine eingehende Untersuchung der auf der rechten Seite auftretenden Reihe ergebe, dass dieselbe für alle Werte von \(z\), deren reeller Bestandteil grösser ist als \(\frac 12\), convergire und zugleich den Wert der Function \(\frac{1}{\zeta(z)}\) darstelle. In Verbindung mit der Riemann'schen Relation zwischen \(\zeta(z)\) und \(\zeta(1-z)\) ergiebt sich dann hieraus, dass \(\zeta(z)\) ausser für \(z = -2, -4,\dots\) nur noch für Werte von \(z\), deren reeller Bestandteil gleich \(\frac 12\) ist, verschwinden kann. Herr Hermite giebt in seiner Zusatz-Note einen neuen Beweis für die oben erwähnten Riemann'schen Sätze, betreffend den analytischen Charakter der Function \(\zeta(s)\). Hermite geht aus von der Gleichung \[ \zeta(s)=\frac{1}{\varGamma(s)} \int_0^\infty \frac{x^{s-1}dx}{e^x-1}=\frac{1}{\varGamma(s)} \int_0^\omega \frac{ x^{s-1} dx}{e^x-1} + \frac{1}{\varGamma(s)} \int_\omega^\infty \frac{x^{s-1}dx}{e^x-1}, \] wo \(\omega\) eine positive Grösse bedeutet, welche kleiner als \(2\pi\) angenommen wird. Es ergiebt sich nun, dass jeder der beiden Bestandteile, als deren Summe hier \(\zeta(s)\) dargestellt ist, für sich eine einwertige Function von \(s\) vorstellt; dass ferner \(\zeta(s)-\frac{1}{s-1}\) für alle Werte von \(s\) endlich bleibt, dass \(\zeta(s)\) für \(s=-2,-4,\dots\) verschwindet und dass endlich die Gleichung \[ \zeta(-2n+1)=(-1)^n\cdot \frac{B_n}{2n} \] besteht, unter \(B_n\) die \(n^{\mathrm te}\) Bernoulli'sche Zahl verstanden.