On related \(s\) functions. (Q1543939)

Unter einer \(s\)-Function versteht der Verfasser den Quotienten zweier unabhängigen Zweige einer Riemann'schen \(P\)-Function. Da die \(P\)-Function im wesentlichen mit der durch die hypergeometrische Reihe dargestellten Function übereinstimmt, so muss jede Eigenschaft der letzteren sich auf die erstere und also auch auf die \(s\)-Function übertragen lassen. Die vorliegende Arbeit behandelt insbesondere die Frage, was den von Gauss für die hypergeometrische Reihe aufgestellten ``relationes inter functiones contiguas'' in der Theorie der \(s\)-Functionen entspricht. Zunächst: was hat man unter verwandten (contiguen) \(s\)-Functionen zu verstehen \(?\) Die \(s\)-Function verzweigt sich für drei Werte \(a, b, c\) der unabhängigen Variabeln \(z\), und zu jedem dieser Werte gehört ein Zweig der Function, welcher nach Multiplication mit einer Potenz \((z-a)^\lambda\), bez. \((z-b)^\mu\), bez. \((z-c)^\nu\) eine für die Stelle \(a\), bez. \(b\), bez. \(c\) eindeutige endliche und von Null verschiedene Function vorstellt. Gehören zu einer \(s\)-Function die Exponenten \(\lambda,\mu,\nu\), zu einer zweiten die Exponenten \(\lambda',\mu',\nu'\), so heissen beide Functionen verwandt, wenn sie dieselben Verzweigungswerte besitzen und die Differenzen \(\lambda-\lambda',\mu-\mu',\nu-\nu'\) drei ganze Zahlen sind, deren Summe gerade ist. Der Satz, welcher nun den Gauss'schen Relationen entspricht, lautet: ``Zwischen je vier verwandten \(s\)-Functionen findet eine quadrilineare Relation mit ganzen Functionen von \(z\) als Coefficienten statt''. In der zweiten Mitteilung wird dieser Satz auf ein besonderes Beispiel angewandt und sodann dadurch umgeformt, dass an Stelle der \(s\)-Functionen Quotienten von hypergeometrischen Reihen eingeführt werden. Dadurch entstehen Relationen, welche hervortreten lassen, dass der vom Verfasser gefundene Satz wirklich den Gauss'schen ``relationes inter functiones contiguas'' entspricht.