On the theory of regular analytic functions. (Q1543942)

In der vorliegenden Abhandlung wird der Satz bewiesen, dass das Gebiet der regulären und ausserwesentlich singulären Stellen einer eindeutigen analytischen Function keiner auderen Einschränkung unterliegt, als in sich zusammenhängend zu sein. Der Verfasser zeigt nämlich, dass zu jedem in sich zusammenhängenden, übrigens beliebigen Gebiete zugehörige Functionen construirt werden können. Letzteres Resultat ist freilich schon in einer Abhandlung Mittag-Leffler's enthalten; jedoch sind die Entwickelungen des Herrn Runge unabhängig entstanden und sowohl wegen ihrer Eleganz als auch wegen der beiden an sich interessanten und wichtigen Hülfssätze bemerkenswert. Der erste Hülfssatz lautet so: ``Ist \(B\) ein endliches aus einer endlichen Anzahl endlichfach zusammenhängender Stücke bestehendes Gebiet, auf welchem (d. h. in dessen Innern und auf dessen Rande) eine im übrigen beliebige analytische Function \(f(x)\) sich regulär verhält, und ist \(C\) ein von \(B\) getrenntes Gebiet, so giebt es eine rationale Function \(R(x)\), welche auf \(B\) beliebig wenig von \(f(x)\) und auf \(C\) beliebig wenig von Null verschieden ist''. Der Gang des Beweises ist folgender: Es sei \(B'\) ein Gebiet auf welchem \(f(x)\) ebenfalls regulär ist und welches das Gebiet \(B\) ein-, dagegen das Gebiet \(C\) ausschliesst. Nach dem Cauchy'schen Satze ist \[ f(x)=\frac{1}{2\pi i} \int \frac{f(z)dz}{z-x}, \] wenn \(x\) auf \(B\) liegt und das Integral über die Begrenzung von \(B'\) erstreckt wird. Liegt \(x\) ausserhalb \(B'\), also z. B. auf \(C\), so ist der Wert desselben Integrals gleich Null. Nun ist letzteres, nach der Erklärung eines complexen Integrales, gleich dem Grenzwert der Function \[ R(x)=\frac{1}{2\pi i} \sum_\mu\;\frac{f(z_\mu)}{z_\mu-x}\;(z_\mu-z_{\mu-1}), \eqno (\mu=1,2,\dots,\lambda) \] unter \(z_1, z_2,\dots, z_\lambda\) Stellen verstanden, welche auf der Begrenzung von \(B'\) liegen. Eine nähere Betrachtung zeigt, dass diese Function \(R(x)\) ``gleichmässig'' gegen den Wert des Integrales convergirt, d. h. dass \(R(x)\) für einen genügend grossen Wert von \(\lambda\) eine rationale Function von der im Satze genannten Beschaffenheit vorstellt. Da ein unendliches Gebiet durch eine lineare Transformation in ein endliches übergeführt werden kann, so darf die Beschränkung, \(B\) sei endlich, fallen gelassen werden. Nun gelingt es dem Verfasser leicht, eine rationale Function \(P_n(x)\) herzustellen, welche sich von einer gegebenen eindeutigen Function \(f(x)\), im ganzen Gebiete des regulären und ausserwesentlich singulären Verhaltens der letzteren, um beliebig wenig, etwa um weniger als \(\frac 1n\) unterscheidet. Es ist dann \[ f(z) = \lim_{n=\infty} P_n(x), \] oder was dasselbe \[ f(x)=P_1(x)+\sum_1^\infty{}_n [P_{n+1}(x)-P_n(x)], \] also \(f(x)\) in ihrem ganzen Gültigkeitsbereiche dargestellt als Summe von rationalen Functionen. Die letzteren werden aber noch an Stellen unendlich, an welchen sich \(f(x)\) regulär verhält. Zur Abstellung dieses Uebelstandes dient der folgende Hülfssatz: ``Liegen \(x_1\) und \(x_2\) im Innern eines zusammenhängenden Gebietes und ist eine rationale Function \(R(x)\) gegeben, welche nur in \(x_1\) unendlich wird, so kann man eine andere rationale Function bilden, welche nur in \(x_2\) unendlich wird und für alle Werte von \(x\) ausserhalb jenes Gebietes beliebig genau mit \(R(x)\) übereinstimmt''. Infolge dieses Satzes können die rationalen Functionen, als deren Summe \(f(x)\) dargestellt ist, ersetzt werden durch andere rationale Functionen, deren Unstetigkeitsstellen ausserwesentlich singuläre Stellen von \(f(x)\) sind. Mit Hülfe der entwickelten Principien bildet nun (im \(\S\) 2) der Verfasser eine unendliche Summe von rationalen Functionen, welche in einem zuammenhängenden, endlichen, übrigens beliebigen Gebiete \(A\) gleichmässig convergirt und an der Grenze von \(A\) überall unstetig ist, nämlich in jeder Nähe einer an der Grenze liegenden Stelle sowohl dem Werte 0 als dem Werte 1 beliebig nahe kommt. Jene Summe stellt daher eine in dem Gebiete \(A\) eindeutige und über dieses Gebiet nicht fortsetzbare analytische Function dar, womit das vom Verfasser erstrebte Ziel erreicht ist.