On division and transformation of the elliptic functions. (Q1544012)

Diese Abhandlung schliesst sich an die früheren des Herrn Verfassers in Kronecker J. LXXXVII. 199-216, LXXXVIII. 205-212 und XCV. 218-231 an (F. d. M. XI. 1879. 295 (JFM 11.0295.01) und XV. 1883. 391 (JFM 15.0391.02)). Die von Herrn Kiepert eingeführte Hülfsgrösse \(f\) (siehe unser Referat F. d. M. XI. 1879. 295, JFM 11.0295.01), welche die Eigenschaft besitzt, dass sich alle übrigen bei der Transformation auftretenden Grössen durch sie und die Invarianten \(g_2, g_3\) rational ausdrücken lassen, erschien, besonders nachdem Herr Klein gefunden, dass durch passende Wahl von \(\alpha,\beta,\gamma,\delta\) in der linearen Function \(\frac{\alpha\tau+\beta}{\gamma\tau+\delta}\), die für \(\tau\) gesetzt werden kann, \[ \tau^{n-1} = \varDelta^{n-1}f^{24}\eqno (\varDelta=g_2^3-27g_3^2) \] gemacht werden kann, als der vornehmste Repräsentant einer ganzen Gattung von Hülfsgrössen, die nicht nur für die Transformation, sondern auch für die Algebra von besonderer Wichtigkeit sind, und die zu einander in inniger Beziehung stehen. Deshalb wird hier eine vollständige Theorie der \(f\)-Gleichung in ihrem Zusammenhange mit der Teilung und mit der Transformation der elliptischen Functionen gegeben. Den Ausgangspunkt bildet die Untersuchung der Teilwerte von \(\wp\), d. h. derjenigen Werte von \(\wp(u)\), bei denen \(u\) der \(n^{\mathrm te}\) Teil einer Periode ist. Die von einander verschiedenen Teilwerte sind Wurzeln einer ``speciellen Teilungsgleichung'', deren Coefficienten ganze rationale Functionen von \(g_2,g_3\) sind. Für eine zusammengesetzte Zahl \(n\) lassen sich alle Teilwerte \(\wp\left( \frac{2\lambda\omega+ 2\mu\omega'}{n} \right)\), bei denen die Zahlen \(\lambda,\mu,n\) einen gemeinsamen Factor haben, absondern, wodurch eine Reduction der Teilungsgleichung eintritt. Ordnet man die genannten Teilwerte in Gruppen und bildet cyklische Functionen \(C_{\lambda,\mu}\) der Teilwerte einer solchen Gruppe, so erhält man algebraische Gleichungen zwischen \(C_{\lambda,\mu}\) und \(g_2,g_3\), die ``Resolventen'' der reducirten Teilungsgleichung. Diejenigen, welche zur Transformation der elliptischen Functionen führen, nehmen eine hervorragende Stelle ein. Unter den charakteristischen Darstellungen von \(f\), mit deren Hülfe das Transformationsproblem gelöst wird, sind die folgenden beiden hervorzuheben: 1) Ist \[ h=e^{\frac{\omega'\pi i}{\omega}},\quad Q(\omega,\omega')=\left( \frac{\pi}{\omega} \right)^{\frac 12} h^{\frac{1}{12}} \prod_{\nu=1}^{\infty}(1-h^{2\nu} ), \] so wird \[ Q^{24}(\tilde{\omega},\omega')=\varDelta(\tilde{\omega},\tilde{\omega}')= g_3^2-27g_3^2 \text{ und } f=\frac{Q\left( \frac{\tilde{\omega}}{n},\omega' \right)}{ Q^n(\tilde{\omega},\tilde{\omega}')}; \] 2) ist \(n\) ungerade, so ist bei der Darstellung von \[ \overline{\wp} (u)=\wp\left( u\left| \frac{\tilde{\omega}}{n} \right. , \tilde{\omega}' \right) \] als rationale Function von \(\wp u=s\) der Nenner das Quadrat einer ganzen Function \(P(s)\), und für die Gleichung \[ P(s) = 0 \] wird \(\pm f^{-n+3}\) die Discriminante. Mit Hülfe einer partiellen Differentialgleichung, welcher die Function \(f^3P(s)\) genügt, ergeben sich die Coefficienten von \(P(s)\) als Functionen von \(f\) und den partiellen Ableitungen von \(f\) nach \(g_2, g_3\), und daraus die Darstellung von \(\overline{\sigma}(u)\) und \(\overline{\sigma} \left( u\left| \frac{\tilde{\omega}}{n} \right., \tilde{\omega}' \right)\). Auch die transformirten Invarianten ergeben sich aus dieser Differentialgleichung. Der Schwerpunkt der ganzen Untersuchung liegt also in der Bildung der \(f\)-Gleichung und ihrer Wurzeln.