On theta functions which, after a transformation, break up into a product of theta functions. (Q1544040)

Wenn bei einer Thetafunction eine principale Transformation \((N)\) stattfindet, und man wendet auf sie eine beliebige Transformation \((H)\) an, so findet auch für die so transformirte Function eine principale Transformation statt und zwar \((H)^{-1} (N) (H)\), wo \((H)^{-1}\) die zu \((H)\) supplementäre Transformation bedeutet; ebenso gilt auch der umgekehrte Satz. Hiervon ausgehend beweist der Verfasser Folgendes: Transformirt man eine Thetafunction durch die Transformation \((P)\), und zerfällt die transformirte Function in ein Product von mehreren Thetafunctionen, so existiren für die ursprüngliche Thetafunction die principalen Transformationen \((P) (H) (P)^{-1}=(K)\), und die auftretenden Multiplicatoren sind \(p\eta_{\alpha\alpha}=\pm p\), wo \(p\) den Grad der Transformation \((P)\) bedeutet. \((K)\) ist eine zu sich selbst supplementäre Transformation vom Grade \(p^2\); ist aber \(p\) eine gerade Zahl, so kann man \((K)\) wieder zerlegen in eine Multiplication mit 2 und eine Transformation \((K^0)\) gleichen Charakters vom Grade \((\frac 12p)^2\). Wenn daher \(p = 2\) ist, so existirt für eine solche Thetafunction eine principale lineare Transformation, deren Multiplicatoren \(+1\) und \(-1\) sind. Dies führt zu dem Satze: Die hyperelliptischen Integrale, bei denen die zugehörigen Thetafunctionen durch eine quadratische Transformation in ein Product von Thetafunctionen von weniger Variabeln übergeführt werden, können durch eine lineare gebrochene Substitution so umgewandelt werden, dass die Wurzelgrösse nur das Quadrat der Variabeln enthält. Darauf wird der Satz bewiesen: Ist bei einer Thetafunction eine principale Transformation möglich, bei der die ersten \(g\) Multiplicatoren gleich \(p\), die übrigen \(\varrho-g\) gleich \(-p\), so existiren zwei Thetafunctionen vom Grade \(g\) und \(\varrho-g\), deren Product sich rational durch jene Thetafunctionen ausdrücken lässt. Herr Wiltheiss sucht nun eine zu den aus der zerfallenden Thetafunction durch lineare Transformationen hervorgehenden Thetafunctionen (die natürlich dieselben Eigenschaften behalten) gehörige, möglichst einfache principale Transformation \((K)\), d. h. eine solche, in der möglichst viele Coefficienten Null sind, und gelangt so schliesslich, indem er sich auf den Fall, dass \(p\) eine ungerade Primzahl ist, beschränkt, zu dem Resultat: Wenn eine Thetafunction durch eine Transformation, deren Grad \(p\) eine ungerade Primzahl ist, in ein Product von zwei Thetafunctionen von \(g\) und \(\varrho-g (g>\varrho-g)\) Variabeln zerfällt, so kann die ursprüngliche Thetafunction durch eine lineare Transformation so umgeändert werden, dass für dieselbe eine principale Transformation besteht, bei der \(k_{\alpha\alpha}= k_{\varrho+\alpha,\varrho+\alpha}=p\) oder \(-p\) ist, je nachdem \(\alpha\leqq g\) oder \(\alpha > g\), und die übrigen Coefficienten Null sind, mit Ausnahme von \(k_{\alpha+\varrho,\beta}=-k_{\varrho+\beta,\alpha}\) für \(\alpha\geqq \beta+g\). Vergl. dazu Poincaré, Sur la réduction des intégrales abéliennes (S. M. F. Bull. XII., F. d. M. XVI. 1884. 426, JFM 16.0426.03)